Logarithme, quelques problèmes ...

[Kalas_BK]

Bonjour, a tous et a toutes !

Comme le dit le sujet j'ai un probleme sur un DM de maths, bien evidemment je ne vous demanderais pas les reponses, mais juste des indications/aide, je ne voudrais pas foirer ma moyenne qui est actuellement de 15 :S:

est la fonction definie sur par

a)Etudier les variations de

b)Demontrer que pour tout reel x>-1,

Voila ce que j'obtiens pour la a)
J'ai deriver, je trouve
Ensuite avec quelques phrases j'explique les variations, le tableau de signe avec l'etude des limites n'est pas necessaire (j'me trompe ? :conf:, car je n'arrive pas a faire la lim en -1 ce que je trouve n'etant pas en accord avec la calto >.<).
Ensuite c'est a la b) que je n'arrive pas ...
Je sais pas de quoi partir, par ou commencer... j'ai essayer un truc ca donne :

x+1>0
\ln(x+1)>0[/TEX] Je ne sais pas comme l'egaliter passer de > a je dois mal m'y prendre ... Ensuite je ne vois pas quoi faire, svp si vous pouviez de donner un coup de pouce ...
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[invite1237a629]

Salut,

Ta dérivée est fausse

La formule de la dérivée de u/v fait apparaître v².
Or, tu as dû voir les identités remarquables et (a+b)² n'est pas égal à a²+b² ^^

[Kalas_BK]

Ah, merci mais enfaite j'ai mal taper, c'est le tout entre parenthese ^^
(1+x)² !

[Gwyddon]

Hem hem, bien tenté le coup de l'identité "remarquable" a²+b² = (a+b)²

Donc on reprend tout à zéro, et on recommence (même si fondamentalement ça ne doit pas changer le résultat sur les variations). Je te conseille fortement de calculer les limites ainsi que la valeur de la fonction au(x) point(s) intéressants (ie où le sens de variation change)

EDIT : bon le temps que je tape et c'est rectifié

Ceci dit mon conseil de calcul est toujours d'actu, surtout en vue de la deuxième question...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Yep

Pour le tableau de variations, je te le conseille, je pense qu'il sera utile pour la question b).

Regarde ce qu'on te demande de montrer dans la question b.
N'y a-t-il pas un lien avec la fonction f ?

Et c'est là que le tableau de variation pourra t'aider

 Cliquez pour afficher

Où la fonction f s'annule-t-elle ?

Edit : bon le temps que je tape et G. a édité

[Kalas_BK]

J'ai calculer la limite de la fonction en -1, je trouve une F.I je montre comment j'ai fait :
lim 1+x=0
x-->-1
On pose X=lnx, lim ln(1+x)=lim ln(X)=-00
x-->-1 X-->0

Ensuite j'ai fais la lim de x/1+x = -00 Je tombe sur une F.I -00 +00
x-->-1

Je n'arrive pas a la faire, a part si il faut utiliser une limite du cours?

[Gwyddon]

Coucou,

Je te suggère de te ramener à l'étude d'une limite en zéro ; là je pense que savoir que *te sera utile

[Kalas_BK]

Ensuite pour la limite en +00 je trouve +00, j'ai fais :
lim 1+x=+00
x-->+00
On pose 1+x=X
lim ln(1+x)=lim ln(X)=+00
x-->+00 X-->+00

lim x/1+x = 1
x-->+00
lim ln(1+x)-x/1+x = +00
x-->+00

Mais suis-je vraiment obliger de la faire en -1 ? Car je n'y arrive pas

EDIT: Je vais calculer la limite en 0, je viens de voir ton message G. Merci je calcul et je post aussitot

[invite1237a629]

Ce n'est pas la limite en 0 qu'il faut calculer, mais il faut ramener le problème à une limite en 0.

En gros, tu fais un changement de variable

si x = -1, t = 0 et t = x+1 (x=1-t si tu veux remplacer)

[Gwyddon]

Je vais manger, ma molette préférée^* va continuer à t'aider

* :tu as copité mon style de localisation je vais bouder...

[invite1237a629]

Je mangeais aussi et tu as également pris mon relai, très cher Guidon, unique, donc préféré

Et le coup de l'amiante ? XD
Bon appitit !!

[Kalas_BK]

Ah ok, il faut un changement de variable ...
Il faut que j'obtienne une limite de la forme : lim x-->0 ln(1+x)/x = 1, jme trompe ?

[invite1237a629]

Oui, de sorte que tu retrouves une limite connue que tu as vue en cours en gros

C'est une pratique assez courante lorsqu'on cherche une limite en un point qui n'est habituellement pas "spécial" (0, l'infini, 1 parfois)

Edit : juste pour un peu plus d'information : il arrive aussi assez souvent de faire un changement de variable t -> 1/t quand on veut retrouver une limite en 0 par rapport à une limite en l'infini initialement, et vice-versa

[Kalas_BK]

Tu pourrais pas me donner une ptite indication sur la variable, je seche un peu la ... j'ai essayer le taux de variation ca marche pas et jremarque que ca serais plus simple avec xln(1+x) en posant X=1/x mais la je seche vraiment ...
Merci de m'aider

[Kalas_BK]

J'comprend pas trop bien avec les t->1/t, mais j'voulais savoir si uniquement avec un changement de variable on peut calculer la limite ( en -1, ici) ou il y a une autre methode ?
Car c'est la premiere fois que j'ai affaire a ca... et le pire dans un DM

EDIT: Voila, ce que ca me donne avec X=1/x, x=1/X
lim ln(1+x)= lim ln (1+1/X)=lim ln (X+1/X)=1
x-->-1 X-->0 X-->0

[invite1237a629]

Non le t -> 1/x, c'était un exemple !!! :s

Si tu veux, mets ta fonction sur le même dénominateur.

Ensuite, pose t = 1+x
Cela reviendra à calculer la limite de la fonction quand t tend vers 0+

Donc à chaque fois que tu auras un 1+x, tu remplaces par t, à chaque fois que t'auras un x, tu remplaces par t-1 !

Et en te servant de la limite donnée par Gwyddon, tu auras, si je ne me trompe pas, la solution








Pour ton edit : ln(1) = 0, pas 1 ^^

[Kalas_BK]

Voila je viens de le faire, je bloquer car je mettais focaliser sur une seul partie de la fonction ( ce que j'ai l'habitude de faire), sinon ca me donne:
On pose X= 1+x, x=X-1, ca donne :
ln(X)-(X-1)/(X), on reduis au meme denominateur ca donne :
Xln(X)/X - (X-1)/(X), ca me donne une limite en +00

Et j'ai calculer la limite en +00 qui me donne aussi +00 est-ce juste ?

[invite1237a629]

Xln(X)/X - (X-1)/(X)

Je serais toi, je ferais attention à ça.
Si tu prends Xln(X)/X et que tu fais tendre vers 0, tu obtiens une forme indéterminée 0/0.

Ecris tout sur une même fraction, c'est plus "esthétique" et surtout, le numérateur ne tendra pas vers 0



Voui, en +oo ça a l'air de faire ça. Tu peux même garder la première formule pour le calculer.

x/(1+x) tend vers 1 quand x tend vers l'infini, c'est toujours ainsi (mettre x en facteur pour mieux comprendre)

[Gwyddon]

Et j'ai calculer la limite en +00 qui me donne aussi +00 est-ce juste ?

Ouaais tout est juste

à la remarque de la molette près, qui est une remarque fort judicieuse

[Kalas_BK]

Dac, merci pour la remarque donc ca donne:

Ce qui fais lim quand x-->0
Ensuite lim X = 0 quand x-->0
On trouve 1/0 x>0, donc +00
Est-ce que j'ai bon maintenant ?
J'dors pas sans savoir comment faire la b

[invite1237a629]

Oé, c'est ça, vaguement

(le lim x = 0 quand x tend vers 0 est magnifique xD)

Pour la b, je t'ai dit, à ton avis, quelle relation y a-t-il entre la question a et la question b ?
Que te rappelle l'inégalité de la question b ?

[Kalas_BK]

La question b) c'est la fonction passer dans le coter obscure de la force et ouais ils sont separer c'pas cool.
Nah serieux la b) c'est je dirais une inequation, c'est la fonction phi en "deux partie" derriere le signe de l'inegaliter.
Il faut partir de x>-1 ou faire un autre truc ? (faire comme avec les suites...)

[invite1237a629]

Bon, on va essayer le chemin inverse :

Quelle est l'inéquation qui concerne phi (sais po faire le tex...) qui te permettra d'atteindre l'inéquation qu'on te demande ?

En quoi le tableau de variations pourra t'aider ? (j'connais la réponse hein, j'essaie de te mettre sur la piste xD)

[Kalas_BK]

Bah ca reviens a resoudre (x)0
En faisant le tableau de variation la fonction s'annule en 0, ca donne
-1 0 +00
0
C'est ca ?

EDIT: Pour le tex sert toi de ceci : http://amath.colorado.edu/documentat...eX/Symbols.pdf

[invite1237a629]

Voui, c'est exactement ça !

Donc, tu n'as plus qu'à conclure, non ? ^^

(oé, pour le tex, j'ai un site aussi, mais c'est fatigant de chercher, et tant que ça se comprend... ^^)


Edit : merci pour le site, un de plus

[Kalas_BK]

Cool merci, et derien pour le site fais en bon usage ... XD

Moi j'continue si tu pourrais m'corriger ou m'indiquer la voie, ce serais sympas

a est un reel >0

Resoudre 1+a/t>0
Je trouve t/t + a/t >0
(t+a)/t>0
(t+a)/t>ln(1)
ln(exp(t+a)/t))>ln1
Et je trouve comme solution
exp(t+a)/t>1

C'est correct ?

[invite1237a629]

Ben étant donné que je ne vois pas du tout pourquoi tu fais ça...je sais pas

mais le résultat est bon. Attention aux parenthèses, c'est exp((t+a)/t) et pas exp(t+a)/t). N'oublie pas de préciser que tu passes de ln(exp(t+a)/t))>ln1 à
exp(t+a)/t>1 car le logarithme est strictement croissante.


Si tu cherches t, je te suggèrerais de passer par une autre voie

[Kalas_BK]

Bah enfaite c'est la suite du DM, que j'ai deja fais sur brouillon mais tout n'est pas claire...

Euh... C'est quoi l'autre solution pour trouver t ?
La consigne est Resoudre l'inequation 1+a/t>0, mais j'suis curieux de savoir comment on trouve t, une indication stp :P

[invite1237a629]

Ben passe 1 de l'autre côté

Ceci pour isoler t, puis, sers toi du fait que a est positif :P

& par la suite, n'oublie pas que la fonction inverse est décroissante

[Kalas_BK]

Je trouve t<-a, comme a>0, t>a est-ce juste ?