Exo sur les complexes d'il y a 20ans [difficile]

[invite50d4b131]

Bonjour à tous !

Notre prof de maths, un vrai sadique, expérimente sur nous de très vieux problèmes. Alors forcément quand on est un peu juste en maths (mais quand même travailleur ) ça passe pas forcément.

Pourriez-vous me donner la marche à suivre sur l'ensemble des questions, enfin surtout les dernières - elles ont l'air bien dure - ?
Merci d'avance



z1 et z2 sont deux nombres complexes de module 1. On nExo sur les complexes d'il y a 20ans [difficil]otera α (alpha) un argument de z1 et β un argument de z2.

1°) a) Démontrer que (z1 + z2)² / (z1*z2) est un réel positif ou nul.

b) Dans quel cas est-il nul ?

2°) Le plan orienté est rapporté au repère orthonormal direct ( O ; vecteur(u) ; vecteur(v) ). Soient A et B deux points d'affixes respectives a et b. On suppose que A, O et B ne sont pas alignés. Calculer en fonction de a et b l'affixe Z du barycentre I du système {(A, |b|), (B, |a|)}.

3°) a) Montrer que Z²/ab est réel strictement positif.

b) Exprimer arg Z en fonction de arg a et de arg b.

c) En déduire que ( vecteur(OA) ; vecteur(OI) ) = ( vecteur(OI) ; vecteur(OB) )

et enfin,

d) Que peut-on en déduire sur la droite (OI) ?



Encore merci de bien vouloir me donner le plus clairement possible les solutions, ou les marches à suivre.
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[MMu]

Il manque des choses dans ton énoncé, puisque par ex. n'est même pas réel !

[invite50d4b131]

Non je t'assure, c'est l'énoncé en entier. J'ai vérifié 3x s'il ne manquait rien.

[invite161a0bc8]

pour la 1) tu utilises remplace z 1 par exp(ix) et z2 parexp(ix') et tu dev et tu factorise et tu appliques ton cours

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Il manque des choses dans ton énoncé, puisque par ex. n'est même pas réel !

Bah si, c'est un réel :

[invite35452583]

Pour la 1) il y a la 1ère méthode indiquée ou alors (en cas d'allergie à la trigonométrie) on peut dévelloper le carré, diviser par le produit, il apparaît une somme de trois termes dont deux sont inverses l'un de l'autre. Pour conclure il suffit de constater que ces deux termes sont de module 1 donc leur somme est dans une partie de C facile à déterminer ce qui additionner avec le troisième terme permet de conclure.

b) évident

2°) simple application du cours sur l'affixe d'un barycentre.

3°)a) (qui est le seul point délicat) on modifie l'expression du 2°) le fait que u/lul est un complexe de module 1 pour tout complexe u pour utiliser 1°)a).
(On n'obtient pas exactement la forme du 1°)a) mais on complète par le fait que certains nombres sont par définition des réels positifs.)
3°)b) on connaît l'argument de z²/ab il suffit d'en déduire ce qui est demandé
3°)c) simple application du cours sur le lien entre certains angles et l'argument et du 3°)c)
3°)d) tout est dans le 3°)c)

[Médiat]

il apparaît une somme de trois termes dont deux sont inverses l'un de l'autre. Pour conclure il suffit de constater que ces deux termes sont de module 1 donc leur somme est dans une partie de C facile à déterminer ce qui additionner avec le troisième terme permet de conclure.

On peut rappeler que l'inverse d'un complexe de module 1 est son conjugué...

[MMu]

Il manque des choses dans ton énoncé, puisque par ex. n'est même pas réel !

Mea culpa, I was in an absent mind

[invite161a0bc8]

dans ce genre d'exo faut remplacer les z par a+ib , developper et factoriser et appliquer le cours .

[invite35452583]

dans ce genre d'exo faut remplacer les z par a+ib , developper et factoriser et appliquer le cours .

Ca doit être la différence avec ce qui se faisait "il y a 20 ans" : on nous apprenait à manipuler les complexes comme de vrais nombres, ce qu'ils sont, et non comme une simple paire de réels.
Trois manières de manipuler les complexes :
i) a+ib...
ii) r.e^ix...
iii) "pur" : les complexes sont des nombres possédant une opération la conjugaison...
Les trois sont complémentaires (les 2 premières ont tendance à devenir très vite bourrine mais sont cependant pour certains problèmes les seules adaptées, exemple la ii) est le plus souvent la seule adaptée à l'extraction explicite de racines, si seule leur manipulation algébrique est utile la iii) se révèle néanmoins nettement meilleure).

Concrètement ici on on aboutit à ce bijou de simplicité, en utilisant a²+c²=1 b²+d²=1,

Il ne reste plus qu'à multiplier par la forme conjuguée du dénominateur...

Ici, la question 1°)a) peut se faire avec une des trois méthodes (la i) est de loin la plus bourrine) mais i) se révèle catatrophique pour 2°) et 3°)a) (on peut appliquer la ii) à l'"arrache", avec la iii) ça se fait assez "gentillement"

Donc non la méthode "a+ib..." n'est ni la seule ni la meilleure en général (et certainement pas ici).

[Jeanpaul]

1°) a) Démontrer que (z1 + z2)² / (z1*z2) est un réel positif ou nul.

b) Dans quel cas est-il nul ?

Pour des taupins d'il y a 30 ans, cet exercice aurait effectivement été trivial, simplement parce qu'ils savaient de la géométrie.
z1 et z2 sont 2 vecteurs de longueur 1, donc si on les ajoute on crée un losange dont la diagonale est z1 + z2 dont l'argument est la moyenne des arguments de z1 et z2. Le carré de cette somme a donc pour argument la somme des arguments de z1 et z2.
Le produit z1*z2 est un complexe dont l'argument est la somme des arguments de z1 et z2.
Dès lors le quotient est réel.
Aucun calcul à faire.
Quant à dire quand ce quotient est nul, on aurait honte à donner des explications.

[invite35452583]

Pour des taupins d'il y a 30 ans, cet exercice aurait effectivement été trivial, simplement parce qu'ils savaient de la géométrie.
z1 et z2 sont 2 vecteurs de longueur 1, donc si on les ajoute on crée un losange dont la diagonale est z1 + z2 dont l'argument est la moyenne des arguments de z1 et z2. Le carré de cette somme a donc pour argument la somme des arguments de z1 et z2.
Le produit z1*z2 est un complexe dont l'argument est la somme des arguments de z1 et z2.
Dès lors le quotient est réel.
Aucun calcul à faire.
Quant à dire quand ce quotient est nul, on aurait honte à donner des explications.

J'aime beaucoup.
J'avais oublié la méthode géométrique mais il y a 20 ans on en faisait moins qu'il y a 30 et ce type de méthode était surtout utilisé en physique d'où mon oubli.