Analyse Ts

[invited5efedfa]

Bonjour les ami(e)s j'ai un problème avec cet exercice dont j'ai réussi à faire le 1 :
Soit f la fonction définie et continue sur R par f(x)=1/(x^2+1)
Soit F l'unique primitive de f sur R telle que F(0)=0
1) démontrer que la fonction -F(-x) est une primitive de f sur R. En déduire que F est impaire.
Ca c'est fait.

2) Soit g définue sur ]0;+infinie[ par g(x)=F(-1/x)
démontrer que g est une primitive de f sur ]0;+infinie[
En déduire que pour tout réle x>0, F(x)=2F(1)-F(1/x)
et que f admet une limite finie L en +infinie.

3) On désigne par h la fonction définie sur ]-pi/2;pi/2[ par h(x)=F(tan x)
a)déterminer la fonction dérivée de h
bà en déduire que h(x)=x pour tout réel x
c)Calculer F(1) et endéduire la valeur de L.


Merci d'avance pour votre aide
Cordialement Raptor
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[Flyingsquirrel]

Salut,

Pour la deuxième question, "g est une primitive de f" est équivalent à " g'=f ". Si le -1/x te gène, pose u(x) = -1/x pour te ramener à la dérivation d'une fonction composée.

[invited5efedfa]

ah d'accord c'est bon j'ai réussi et pour le b je fais comment?

[Flyingsquirrel]

Pour la 2.b, tu veux montrer que pour tout x>0, F(x)+F(1/x) = 2F(1). Si on pose pour x>0 H(x) = F(x)+F(1/x), tu veux montrer que la fonction H est constante sur R₊^* et que cette constante vaut 2F(1).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5efedfa]

Voilà ce que j'ai fait
H(x)=F(x)+F(1/x)
on a H'(x)=F'(x)+F'(1/x)
H'(x)=F'(x)-1/x²*F'(1/x)
H'(x)=1/(x²+1)-1/x²*x²/(1+x²)
H'(x)=1/x²+1)-1/(1+x²)
H'(x) =0

Donc pour tout x, H(x)=cst
donc pour x=1
on a H(x)=F(1)+F(1)=2F(1) donc F(x)=H(x)-F(1/x)=2F(1)-F(1/x)
Voilà j'ai réussi !Mais comment pouis-je faire pour prouver que F(x) admet une limite finie si je connais aps sa relation?

[Flyingsquirrel]

C'est bon mais attention à la notation des dérivées :

on a H'(x)=F'(x)+F'(1/x)

F'(1/x)=F'(u(x)) avec u(x)=1/x alors que tu voulais écrire (F(u(x))'=(F(1/x))'

Voilà j'ai réussi !Mais comment puis-je faire pour prouver que F(x) admet une limite finie si je connais pas sa relation?

Tu sais que F(x)=2F(1)-F(1/x) et ce que tu cherche c'est la limite du membre de gauche...

[invited5efedfa]

C'est bon mais attention à la notation des dérivées :


F'(1/x)=F'(u(x)) avec u(x)=1/x alors que tu voulais écrire (F(u(x))'=(F(1/x))'

Tu sais que F(x)=2F(1)-F(1/x) et ce que tu cherche c'est la limite du membre de gauche...

D'accord mais je ne connais pas la limite de F(1/x).
Je sais que lim2F(1)=2F(1)

[invited5efedfa]

D'accord mais je ne connais pas la limite de F(1/x).
Je sais que lim2F(1)=2F(1)

Je sais que lim 1/x =0 lorsque x tend vers plus l'infini mais je sais aps comment trouver lim F(1/x)

[Flyingsquirrel]

On cherche la limite de F(x) pour x tendant vers 0... et F est définie en 0 !

[invited5efedfa]

Non on cherche la limite de F lordque x est très grand

[invited5efedfa]

Ah oui c'est vrai on limF(0)=0

Il me reste plus que le 3)b à faire en fait pour h'(x) j'ai h'(x)=1/(tan²x+1)
Après on doit pour prouver que h(x)=x pour tout x réel
J'ai dis qu'on pouvait marqué ca h(x)-x=0
J'ai pris g(x)=h(x)-x
on a g'(x)=-tan²x/(tan²x+1)
Donc g'(x)<=0 donc g(x) est tjs décroissante.
mais c'est là qu'arrive les problèmes en effet je veux utiliser le théorèmedes valeurs intermédiaires mais je ne connais pas els limites de g en + et - infini donc j'ai pas d'intervalle et donc prouver par la suite que 0 est contenu dans cet intervalle. 2ème problème c'est que si je prouve que l'équation g(x)=0 admet au moins une solution dasns R ca veut dire h(x)=x a au moins une solution dans R aussi mais il faut prouver que cel est vrai pour tout x réel...

[Flyingsquirrel]

Ça ne te semble pas bizarre de trouver h'(x)=1/(1+tan²(x)) alors que le but c'est de montrer que h(x)=x ? Ça serait mieux (et juste) de trouver h'(x)=1.

[invited5efedfa]

Ça ne te semble pas bizarre de trouver h'(x)=1/(1+tan²(x)) alors que le but c'est de montrer que h(x)=x ? Ça serait mieux (et juste) de trouver h'(x)=1.

hum je sais pas d'où vient mon erreur?

[invited5efedfa]

de plus si h'(x)=1 alors h(x) peut être égale à x ou àx +1, x+2,x+3...

[Flyingsquirrel]

hum je sais pas d'où vient mon erreur?

Tu dérives une fonction composée : F(v(x)) avec v(x)=tan(x)

de plus si h'(x)=1 alors h(x) peut être égale à x ou àx +1, x+2,x+3...

Oui, sauf qu'ici on a une condition sur h(0) donc on connait la valeur de la constante et on peut intégrer sans problème.

[invited5efedfa]

Tu dérives une fonction composée : F(v(x)) avec v(x)=tan(x)


Oui, sauf qu'ici on a une condition sur h(0) donc on connait la valeur de la constante et on peut intégrer sans problème.

d'accord pour le premier.
Est-ce quie h(0)=0?

[Flyingsquirrel]

Oui car h(0)=F(tan(0))=F(0)

[invited5efedfa]

ok merci beaucoup de ton aide!