Ts spé maths irrationnel

[invitef9294562]

Bonjour, j'ai un exo à faire en spécialité maths et j'aimerais bien avoir un peu d'aide car je n'y arrive pas, il s'agit de démontrer que racine cubique de deux est irrationel.
Je sais que ce nombre peut s'écrire 2^1/3, mais cela n'est pas une décompostion en facteur premier car 1/3 n'est pas naturel.
Merci si quelqu'un peut m'apporter un peu d'aide
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[invite2220c077]

Par l'absurde, suppose que est un nombre rationnel : comment peux-tu alors l'écrire ?

Chose faite, élève au cube les deux membres de l'égalité obtenue plus haut, et utilise tes propriétés arithmétiques pour obtenir la contradiction recherchée.

[Gwyddon]

Bonjour,

Je te donne un autre indice, parce que si c'est la première fois peut-être ne vas-tu pas y penser : essaye de trouver la relation entre le reste de la division de p par 2, et le reste de la division de p³ par 2 (pour p entier naturel).

[invitef9294562]

Ah d'accord c'est bon je pense avoir comprit comment faire grâce à vos deux aides :
en élevant au cube j'arrive a la relation 2q³ = p³ donc 2/p³
or lorsque que l'on regardes les restes de la division de p³ par 2 , lorsque p est impaire le reste est 1 car :
p congru à 0 modulo 2 ou p congru à 1 modulo 2
p³ congru à 0 modulo 2 ou p³ congru à 1 modulo 2

Or si racine cubique de 2 = p/q, 2 divise p³
donc racine cubique de 2 n'est pas égale à p/q car 2 ne divise pas toujours p³ donc racine cubique de 2 est irrationel.

C'est bien sa ?
en tout cas merci beaucoup

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Ce n'est pas tout à fait ça, cependant tu as bien compris le sens de mon indice.

On va reprendre ensemble histoire que tu finisses bien l'exercice

Pour l'instant, tu as les résultats suivants :

_ tu as supposé que était rationnel, tu l'écris avec p,q entiers. Tu prends l'écriture irréductible de cette fraction (de toute façon si la fraction n'était pas irréductible tu peux quand même t'y ramener par simplifications) ce qui veut dire que p et q sont premiers entre eux : le seul diviseur qu'ils ont en commun est le nombre 1.

_ tu as montré que 2|p³, ce qui signifie que 2|p² et 2|p

Donc p est pair.


Maintenant je te suggère de regarder ce que ça implique sur la parité de q

[invitef9294562]

q est impair car p et q sont premiers entre eux.
Or q³ = p³/2 et comme p est pair p³/2 est forcément pair aussi, donc q³ est pair !
Mais ensuite si q³ est pair est-ce que je peut dire que q est pair ?
si je peut dire sa j'arrive à ma contradiction

[Forhaia]

Oui tu peux le dire,

comme tu l'avait déjà dit pour p:

_ tu as montré que 2|p³, ce qui signifie que 2|p² et 2|p

Donc p est pair.

[invitef9294562]

ah ben oui c'est vrai lol
merci beaucoup grâce à vous j'ai enfin finit mon exo

[Gwyddon]

Bonsoir,

Bravo tu as compris le truc

A bientôt sur les forums