Elaboration d'une commande

[invite23a97a5c]

Voila Bonjour je suis en train de faire un exercice pour m'entrainer pour le bac a venir. C'est un exercice d'arithmétique :
1.a Montrer que si m est un nombre entier tel que: 0<m<7, alors 77-11m n'est pas divisible par 7. En déduire que 77 ne peut pas s'écrire sous la forme 11m+7n avec m et n entiers strictements positifs
b.Soit x un entier ; montrer qu'il existe un entier m, vérifiant 0<m<(ou égale)7, tel que x-11m soit divisible par 7.
En déduire que, si x<77, alors x peut s'écrire sous la forme 11m+7n avec m et n entiers strictements positifs.

Voila j'ai réussi la premiére parti de la question 1, mais j'ai étudié ts les cas, est-ce la bonne solution? Ensuite je seche un peu sur les 2 autres et elles m'empechent de continuer l'exercice. Pourais-je avoir une indication?
Merci
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[invite71a6f1bd]

Je suis pas très bon avec ca mais je ferais comme suit:
Par l'absurde: si 7/(77-11m)
alors 7/77 (ok) et
7/11m
or 0<m<7 avec m entier donc c'est absurde!
donc 7 ne divise pas 77-11m

[invite71a6f1bd]

pour la deuxieme partie de la question:
tu as 77-11m qui n'est pas multiple de 7
tjrs par l'absurde:
si 77=11m+7n tu as donc 77-11m=7n (n entier positif)
Or ca c'est dire que 77-11m est multiple de 7 !
Contradiction avec ce que je t'ai dit juste avant donc 77 ne peut pas s'ecrire comme ca

[invite23a97a5c]

Merci , sa semble bon

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite23a97a5c]

auriez vous une idée pour la question b? je seche...

[invite71a6f1bd]

Si 7/x-11m, tu as x-11m=7K avec K€Z
donc x=7K+11m
J'espere ne pas dire d'enormités lol.
j'espere que ca t'aide (dsl j'ai bcp de taf la ^^)

[invite1237a629]

Yop

or 0<m<7 avec m entier donc c'est absurde!

Justement, il faudrait préciser pourquoi c'est absurde

7 étant premier, m<7 sera premier avec 7, puisque 7 a pour seuls diviseurs 1 et lui-même.

Donc 7 et 11 étant premiers entre eux, si 7 divise 11m, alors 7 divise m => contradiction ^^

[invite23a97a5c]

b.Soit x un entier ; montrer qu'il existe un entier m, vérifiant 0<m<(ou égale)7, tel que x-11m soit divisible par 7.
En déduire que, si x<77, alors x peut s'écrire sous la forme 11m+7n avec m et n entiers strictements positifs.

Ct x>77, il ne faut déterminé une valeur de m?

[invite23a97a5c]

s'il vous plait...

[invite1237a629]

Essaie de chercher aussi par toi-même...

Tu peux passer par l'étude des cas possibles.
Un nombre est congru à 0,1,2,3,4,5 ou 6 modulo 7.
Fais-le pour x et prouve qu'il existera toujours m de sorte que x-11m congru à 0 modulo 7

[invite23a97a5c]

je ne pense pas que sa soit possible, si j'analyse les cas de x, il faut aussi analysé les cas de m , ce qui fait bcp trop de cas possible

[invite1237a629]

Non, il ne faut pas analyser les cas de m. Il suffira de donner un m qui fait que ça marche !

[invite23a97a5c]

Je crois que j ai trouvé.
Donc par exemple pour x congru à 0 [7], et pour m=7, on a:
x-77 congru à 0-77 [7]
x-77 congru à -77 [7]
Or 77 est congru à 0 [7]
Donc x-11m congru à 0 [7]

De meme pour:- x congru à 1, on a m=2
-x congru à 2, on a m=4
-x congru à 3, on a m=6
-x congru à 4, on a m=1
-x congru à 5, on a m=3
-x congru à 6, on a m=5

C est bien sa ?

[invite1237a629]

Exactement

Pour généraliser le cas, tu peux dire "m doit être congru à * modulo 7", mais ce n'est pas demandé puisqu'on veut x < 77

[invite23a97a5c]

[QUOTE=Corp!;1548780]
En déduire que, si x>77, alors x peut s'écrire sous la forme 11m+7n avec m et n entiers strictements positifs.[QUOTE]

Par contre au niveau de cette question... je ne vois pas trop comment répondre. Si m=7, alors x-11m =0 0 qui divise 77, donc x pourai sécrire 11m+7n, je ne compren pas trop...

[invite1237a629]

Regarde la question précédente.

Tu as montré que quel que soit x<77 (la condition porte sur x, pas sur m), x-11m est divisible par 7 (ne confonds pas divisible et divise !).

Donc x-11m est multiple de 7. Donc x-11m peut s'écrire sous quelle forme ?

[invite23a97a5c]

x-11m=7n(n entier)
d'ou x= 11m+7n?

[invite23a97a5c]

mais je ne vois pas bien le rapport avec x>77

[invite23a97a5c]

x-11m=7n(n entier)
d'ou x= 11m+7n?

Si j écrit cela , je ne pren pas en compte l info x>77

[invite23a97a5c]

euh???....

[invite1237a629]

Je sèche aussi en fait... Surtout que dans la deuxième question, m peut être = à 7, alors que pas dans la première...

La seule condition sur x, c'est que ce soit > à la valeur pour laquelle 11m+7n est minimale. Et étant donné que m et n strictement positifs, cela signifie que les valeurs minimales de m et n sont 1.
Donc x > 18, mais ça n'explique pas le 77