Rigueur de la notation de Leibniz

[Seirios]

Bonjour à tous,

Plusieurs fois, j'ai rencontré la "démonstration" de la dérivée de la composée de deux fonctions f et u par la notation de Leibniz :

, en supposant bien sûr que du soit différent de zéro.

Mais j'ai trouver dans un document que cette opération laissait penser que la dérivée de la composée de deux fonctions s'exprimait ainsi.

J'aimerais par conséquent savoir si nous pouvions manipuler les dérivées par la notation de Leibniz en toute rigueur, et bien sûr si ce n'est pas le cas, pourquoi.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2
-----

[invitedc2ff5f1]

Oh ca c'es tune question pour les matheux. doit y avoir une histoire de convergence là-dedans...

[invite1237a629]

Plop,

J'aimerais par conséquent savoir si nous pouvions manipuler les dérivées par la notation de Leibniz en toute rigueur, et bien sûr si ce n'est pas le cas, pourquoi.

On me dit à l'oreille que ça s'utilise beaucoup en physique, mais qu'en maths, c'est une aberration parce qu'on ne peut pas dériver une fonction par rapport à une autre fonction. C'est soumis à pas mal de conditions. En maths, paraît que c'est niveau L3/M1...

[invite4fbb3489]

Oui bien sur il me semble que ce n'est pas du tout une démonstration : il s'agit d'une notation bien commode mais rien de plus puisqu'on ne manipule pas du tout les dérivées comme des nombres (multiplier et diviser par du ça n'a pas de sens). Pour montrer la formule de dérivation de la composée, il faut revenir à la définition de la dérivée d'une fonction avec les limites.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

il s'agit d'une notation bien commode mais rien de plus puisqu'on ne manipule pas du tout les dérivées comme des nombres (multiplier et diviser par du ça n'a pas de sens).

Mais dans ce cas là, la dérivée est présentée sous la forme d'un quotient de différentielles, et multiplier et diviser possède un sens, non ?
Par contre, quant à la remarque de MiMoiMolette, quelqu'un pourrait-il donner quelques détails pas trop complexes sur le sujet ?

[invite4fbb3489]

Les différentielles au sens propre sont des applications linéaires (mais ça a priori tu n'as absolument pas besoin de le savoir pour dériver ...), donc non ça n'a pas de sens. En fait quand tu écris df/dx, df ne représente pas la différentielle de f mais une toute petite variation de f. d(f(x))/dx aurait plus de sens je crois mais ce ne sont pas des différentielles, ce sont des quantités infinitésimales, enfin là je crois qu'on s'écarte beaucoup de ton niveau et même du mien =/.
Enfin bref, ce n'est pas une démonstration, c'est un égalité qui est vrai dans le cadre de cette notation, justement grâce à la formule de dérivation de la composée.
Je n'arrive pas très bien à m'expliquer je crois ...

[Seirios]

En fait quand tu écris df/dx, df ne représente pas la différentielle de f mais une toute petite variation de f

Mais la différentielle df d'une fonction f est définie par : df=f'(x)dx. Or , et, en utilisant les mêmes notations, dx=h. Par conséquent, df=f(x-h)-f(x) avec h tendant vers zéro. La différentielle s'identifie donc bien à une variation infinitésimale.
De plus, df=f'(x)dx est équivalent à f'(x)=df/dx, et en considérant la différentielle comme une variation infinitésimale, correspond bien à la définition de la dérivée.

Les différentielles au sens propre sont des applications linéaires (mais ça a priori tu n'as absolument pas besoin de le savoir pour dériver ...), donc non ça n'a pas de sens

Mais cela ne reviendrait-il pas à diviser et à multiplier par k(x) par exemple ? Car ici, on ne divise par une différentielle, mais bien par un nombre, l'image d'une fonction par la différentielle...

[invite57a1e779]

Bonjour à tous,

Plusieurs fois, j'ai rencontré la "démonstration" de la dérivée de la composée de deux fonctions f et u par la notation de Leibniz :

, en supposant bien sûr que du soit différent de zéro.

Mais j'ai trouver dans un document que cette opération laissait penser que la dérivée de la composée de deux fonctions s'exprimait ainsi.

J'aimerais par conséquent savoir si nous pouvions manipuler les dérivées par la notation de Leibniz en toute rigueur, et bien sûr si ce n'est pas le cas, pourquoi.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer ?

Merci d'avance
Phys2

La notation de Leibniz est tout à fait rigoureuse, à condition de savoir de quoi l'on parle.
Les différentielles , , , ... ne sont pas des nombres, mais des fonctions, et ces fonctions ne sont pas à valeurs réelles... Ce sont des objets mathématiques relativement compliqués, dont la manipulation nécessite beaucoup de soin.

[Seirios]

Alors selon wikipédia :
Soient E et F deux espaces vectoriels normés (est-ce important que les espaces vectoriels soient normés ?), et f une application de E dans F. Soit a un point de E. Alors on dit que f est différentiable en a si et seulement s’il existe une application linéaire continue L de E dans F telle que :



Et L est appelée différentielle de f au point a.

Apparemment, la différentielle définie comme cela, la formule dy = f'(a)dx serait alors correcte.

Mais ce que je ne comprends pas, c'est que, si effectivement, il n'y a pas de sens à diviser par une application, c'est-à-dire par la différentielle, alors pourquoi peut-on noter f'(x)=dy/dx ? Car après tout, x peut être défini par la fonction identité.

[invite1237a629]

Mais f est exprimé en fonction de x, c'est pas la même chose que si c'était une fonction quelconque...

Concernant la différentiabilité, c'est pas si simple à utiliser (j'fais ça en cours et on galère en TD pour montrer qu'une fonction est différentiable )

[Seirios]

Mais f est exprimé en fonction de x, c'est pas la même chose que si c'était une fonction quelconque...

Je ne comprends pas cet argument

[invite57a1e779]

Alors selon wikipédia :
Soient E et F deux espaces vectoriels normés (est-ce important que les espaces vectoriels soient normés ?), et f une application de E dans F. Soit a un point de E.

Il est important que les espaces soient munis d'une topologie afin d'avoir une notion de continuité pour les applications (en particulier linéaires) de E dans F.
Les plus simples des espaces vectoriels topologiques sont les espaces normés.

Alors on dit que f est différentiable en a si et seulement s’il existe une application linéaire continue L de E dans F telle que :



Et L est appelée différentielle de f au point a.

Apparemment, la différentielle définie comme cela, la formule dy = f'(a)dx serait alors correcte.

Attention : L est la différentielle de f au point a ; la différentielle de f, notée df, est l'application .
La relation n'a aucun sens (ou du moins certainement pas celui que tu lui donnes. Ce qui a un sens, c'est , où , et sont à évaluer en .

La notation ne vaut que si l'espace de départ E est de dimension 1. Lorsqu'il y a plusieurs variables, il faut utiliser les notations avec les "d ronds", par exemple, où l'on insiste bien sur le fait que n'est qu'une notation de la dérivée partielle, n'est en particulier pas un quotient, et que et n'ont aucun sens pris individuellement et séparément.

Mais ce que je ne comprends pas, c'est que, si effectivement, il n'y a pas de sens à diviser par une application, c'est-à-dire par la différentielle, alors pourquoi peut-on noter f'(x)=dy/dx ?

On peut noter par convention, ce qui ne veut pas dire que l'on fait une division... n'est qu'une notation pour , pas le résultat d'une division.
Cette notation a pour but de manifester la relation fondamentale [tex]df = f'.dx[tex] sous la forme et, de ce fait, peut être utilisée dans tous les calculs.
Dans le calcul de la dérivée d'une fonction composée, on a
– d'une part, ;
– d'autre part, et , donc
d'où l'on déduit bien comme résultat d'un produit de deux fonctions, notées sous forme de quotient sans être des quotients, donc sans "simplification d'un produit de fractions".

Car après tout, x peut être défini par la fonction identité.

Effectivement, x est, dans la notation de Leibniz, une notation de la fonction identité.
Le problème est que l'on confond, dans la notation de Leibniz, la fonction et la valeur , donc la fonction et la valeur .

[Seirios]

Merci beaucoup God's Breath pour ta réponse, j'ai déjà l'esprit plus clair

Mais j'ai un second problème : Pour une courbe paramétrée, de paramètre t, on écrire avec les notations de Leibniz, la dérivée :

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)

Mais comment trouver cela sans la conception abusive de la simplification par dt et en restant cohérant avec la définition de la différentielle ?

[invite57a1e779]

Mais j'ai un second problème : Pour une courbe paramétrée, de paramètre t, on écrire avec les notations de Leibniz, la dérivée :

dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)

Mais comment trouver cela sans la conception abusive de la simplification par dt et en restant cohérant avec la définition de la différentielle ?

C'est toujours la même chose : tant que l'on considère des fonctions d'une seule variable, deux différentielles et sont proportionnelles au sens qu'il existe une unique fonction telle que , et l'on note , je mets des parenthèses pour indiquer que le numérateur et le dénominateur sont "indissociables" et que ce n'est pas une fraction au sens usuel.

On a donc l'existence des fonctions , et telles que , et , donc et (par unicité du "rapport de proportionnalité" entre les différentielles, ou encore qui s'écrit immédiatement, en notation de Leibniz, sous la forme :

sans avoir fait de simplifications de supposées fractions .

[Seirios]

D'accord, je n'avais pas fait attention que l'on pouvait diviser par (dx/dt), qui n'est pas une différentielle...
Merci beaucoup