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Formule de Leibniz



  1. #1
    julien_4230

    Formule de Leibniz


    ------

    Bonjour.

    On a la formule de Leibniz :
    (f)(n) = (SOMME de k=0 à n)(k parmis n) xn(k)(1+x)n(n-k)

    Je n'arrive pas à calculer xn(k)(1+x)n(n-k). Merci de me donner un coup de main !

    -----
    Dernière modification par julien_4230 ; 19/02/2007 à 18h43. Motif: erreur dans la formule

  2. Publicité
  3. #2
    cedbont

    Re : Formule de Leibniz

    Bonjour, je dirais que si :

    A(x) = xn(k)(1+x)n(n-k).

    Alors : A(x) = (n!/(n-k)!*x^(n-k))*(n!/k!*(1+x)^k)

  4. #3
    julien_4230

    Re : Formule de Leibniz

    Pourquoi ?!
    Pourquoi y a-t-il des n! et des (n-k)! je ne comprends pas!

    merci

  5. #4
    cedbont

    Re : Formule de Leibniz

    C'est de la récurrence :

    (x^n)' = n*x^(n-1),
    (x^n)'' = (n-1)*n*x^(n-2),
    (x^n)''' = (n-2)*(n-1)*n*x^(n-3), etc.

    Donc, pour obtenir (n-k+1)*(n-k+2)*...*n, on utilise des factorielles :

    (n-k+1)*(n-k+2)*...*n = n!/(n-k)!

    Vérifie avec un exemple.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    julien_4230

    Re : Formule de Leibniz

    J'ai un peu de mal à comprendre...

    xn' = nxn-1
    xn'' = n(n-1)xn-2
    ...
    xn(n-k) = n(n-1)(n-2)...(n-(n-k+1))xn-n+k

    Je suis un peu perdu en fait !

  8. #6
    julien_4230

    Re : Formule de Leibniz

    D'accord d'accord, je comprends comment faire...

    Mais en fait, mon problème réel vient maintenant :

    pour f(x) = xn(1+x)n,

    Il faut calculer f(n)(x) (c'est fait)

    Et déduire (SOMME de k=0 à n) (k parmi n)²

    On a :

    f(n)(x) = n!(SOMME de k=0 à n)(k parmi n)² xn-k(1+x)k.

    Que dois-je faire ? Merci !...

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  10. #7
    cedbont

    Re : Formule de Leibniz

    Un moment ...
    Dernière modification par cedbont ; 19/02/2007 à 20h46. Motif: erreur de ma part

  11. #8
    cedbont

    Re : Formule de Leibniz

    Bon là je ne sais pas.

    Je dirais qu'il faut remplacer x par 1, ce qui te donne : f(n)(x) = n!(SOMME de k=0 à n)(k parmi n)² *2^k

    Mais je bute...

  12. #9
    julien_4230

    Re : Formule de Leibniz

    Y a pas une histoire de coefficient quelque part ?

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