Formule de Leibniz

[julien_4230]

Bonjour.

On a la formule de Leibniz :
(f)⁽ⁿ⁾ = (SOMME de k=0 à n)(k parmis n) x^n(k)(1+x)^n(n-k)

Je n'arrive pas à calculer x^n(k)(1+x)^n(n-k). Merci de me donner un coup de main !
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[cedbont]

Bonjour, je dirais que si :

A(x) = x^n(k)(1+x)^n(n-k).

Alors : A(x) = (n!/(n-k)!*x^(n-k))*(n!/k!*(1+x)^k)

[julien_4230]

Pourquoi ?!
Pourquoi y a-t-il des n! et des (n-k)! je ne comprends pas!

merci

[cedbont]

C'est de la récurrence :

(x^n)' = n*x^(n-1),
(x^n)'' = (n-1)*n*x^(n-2),
(x^n)''' = (n-2)*(n-1)*n*x^(n-3), etc.

Donc, pour obtenir (n-k+1)*(n-k+2)*...*n, on utilise des factorielles :

(n-k+1)*(n-k+2)*...*n = n!/(n-k)!

Vérifie avec un exemple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[julien_4230]

J'ai un peu de mal à comprendre...

xⁿ' = nx^n-1
xⁿ'' = n(n-1)x^n-2
...
x^n(n-k) = n(n-1)(n-2)...(n-(n-k+1))x^n-n+k

Je suis un peu perdu en fait !

[julien_4230]

D'accord d'accord, je comprends comment faire...

Mais en fait, mon problème réel vient maintenant :

pour f(x) = xⁿ(1+x)ⁿ,

Il faut calculer f⁽ⁿ⁾(x) (c'est fait)

Et déduire (SOMME de k=0 à n) (k parmi n)²

On a :

f⁽ⁿ⁾(x) = n!(SOMME de k=0 à n)(k parmi n)² x^n-k(1+x)^k.

Que dois-je faire ? Merci !...

[cedbont]

Un moment ...

[cedbont]

Bon là je ne sais pas.

Je dirais qu'il faut remplacer x par 1, ce qui te donne : f(n)(x) = n!(SOMME de k=0 à n)(k parmi n)² *2^k

Mais je bute...

[julien_4230]

Y a pas une histoire de coefficient quelque part ?