Discussion exo 19 Spe maths exercices

[invite1237a629]

Plop,

Ceci s'adresse particulièrement à GalaxieA440 (ça faisait un bail )

Correction de l'exo 19 :

Or, ceci est contradictoire avec le fait que a^b=1

En quoi est-ce contradictoire ?

k divise OU a, OU b, non nécessairement les deux. Donc ce n'est pas une contradiction avec le fait que a^b = 1...

Contre-exemple : 3 et 5 sont bien premiers entre eux. k = 3 divise 3x5. Je sais pas ce que tu voulais mettre au début, mais ça n'est pas très correct ça

Pour ceux qui veulent le lien : http://forums.futura-sciences.com/po...3.html#1572583


Voili !
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[Gwyddon]

Cet exercice peut se résoudre avec les logarithmes

De manière plus générale, je n'ai pas compris dès le début la correction de Galaxy, par exemple pourquoi d|ab ?

[invite1237a629]

Parce que ce sont des pgcd et pas des puissances

Cet exercice peut se résoudre avec les logarithmes

De manière plus générale, je n'ai pas compris dès le début la correction de Galaxy, par exemple pourquoi d|ab ?

Ca y est, quoté !

[Gwyddon]

[QUOTE=MiMoiMolette;1572644]Parce que ce sont des pgcd et pas des puissances
[/quote]

Vivi, mais en fait ça prouve que l'exercice n'est pas super bien choisi

Ca y est, quoté !

Hein ?

comprend po..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Tu vois beaucoup de nombres a et b tels que a^b = 1 d'ailleurs ?

Et c'est un topic SPÉ maths terminale S, sur un post où on peut lire :

Notion à utiliser : pgcd

Quoté parce que c'est fort là ^^

[Gwyddon]

Quoté parce que c'est fort là ^^

Bah je n'ai toujours pas compris, j'ai dit une bêtise ? Je n'y peux rien si je n'ai pas compris...

[invite1237a629]

Cet exercice peut se résoudre avec les logarithmes

De manière plus générale, je n'ai pas compris dès le début la correction de Galaxy, par exemple pourquoi d|ab ?

Logarithmes -> puissances

d|ab car c'est le pgcd et il l'a défini ainsi... ^^

[God's Breath]

La réponse proposée est effectivement un peu rapide.

est le pgcd de et , et est un facteur premier de .

Bien évidemment divise donc ; par suite, il divise ou puisqu'il est premier.

On se retrouve alors avec qui divise donc , tout en divisant l'un des carrés ou : ainsi divise les deux carrés, il divise donc et , toujours parce qu'il est premier...

[Gwyddon]

Logarithmes -> puissances

d|ab car c'est le pgcd et il l'a défini ainsi... ^^

Ah ? Ça ne m'a pas paru évident^^

Je cite

(a²+b²)^(ab)= d, avec d différent de 1.

Je sais lire, merci

Et nulle part je vois écrit "on pose d=pgcd(a,b)", donc on peut comprendre pourquoi je n'ai pas compris


EDIT : ahhhhh... Je crois comprendre... Galaxy a utilisé la notation ^ pour le pgcd, ce qui porte à confusion avec la notation de puissance...

[invite1237a629]

EDIT : ahhhhh... Je crois comprendre... Galaxy a utilisé la notation ^ pour le pgcd, ce qui porte à confusion avec la notation de puissance...

C'est bien ce que je disais, et c'est bien cette notation qu'il a utilisée


Yep God, c'est beaucoup mieux et plus clair

Question comme ça : comment montrer que si k premier divise a², alors il divise a ? (c'est évident, mais ça m'intéresserait d'avoir la démo correcte )

[God's Breath]

Question comme ça : comment montrer que si k premier divise a2, alors il divise a ? (c'est évident, mais ça m'intéresserait d'avoir la démo correcte )

Le plus simple est de dire que les décompositions en facteurs premiers de et ne diffèrent que par les exposants, mais pas par les facteurs premiers qui y apparaissent : si apparaît dans la décomposition de , il apparaît également dans celle de .

Plus tordu, par contraposition : si , entier premier ne divise pas , alors il est premier avec , et le théorème de Bézout assure l'existence d'entiers et tels que .
En élevant au carré, il vient , donc et sont premiers entre eux et ne divise pas .

[GalaxieA440]

Plop a tous

Pour Gwydon, j'ai bien posé au départ a²+b² ^ ab =d
donc d divise bien ab et a²+b². Je suppose aussi que d est différent de 1.

Sinon pour le reste, c'est vrai je reconnais, il y a eu précipitation.

Je cherche donc une solution pour réparer cette boulette et je reposte prochainement

++ a tout de suite

[GalaxieA440]

Bon, je propose une solution, dites moi ce que vous en pensez...

soit a^b=d et a²+b² = d', avec d' différent de 1.
je repose k un facteur premier de d'
j'arrive encore a k|a ou k|b, or d|a et d|b car a^b=d. Ce qui implique que d soit différent de 1

Conclusion, a²+b² = d' implique que a^b=d, avec d et d' différent de 1.

Par contraposée, on a a^b=1 implique que a²+b² = 1

Est-ce que c'est bon ou alors j'abuse avec ma contraposée la ??

[GalaxieA440]

petite correction/précision ..

a^b=d et a²+b²^ab=d', avec d' différent de 1

Je montre que d doit nécessairement être aussi différent de 1

J'ai donc montrer que P(d' différent de 1) implique Q (d différent de 1)
Par contraposée je montre que nonQ implique non P, soit d=1 implique que d'=1

Bon ?

[Gwyddon]

Pour Gwydon, j'ai bien posé au départ a²+b² ^ ab =d

Là n'est pas le souci, le souci c'est que ta notation portait à confusion

[GalaxieA440]

Ok, toutes mes excuses

[GalaxieA440]

Question comme ça : comment montrer que si k premier divise a², alors il divise a ? (c'est évident, mais ça m'intéresserait d'avoir la démo correcte )

Pour ça tu dis, k premier divise a² donc; k|a² donc k|aa
et donc k|a ou k|a, donc nécessairement k|a...

[GalaxieA440]

Au niveau de la correction que je propose, dites moi si elle est bonne, auquel cas je la rédige comme il faut en latex et je l'envoie à un modérateur pour qu'elle soit remplacée...

Merci à vous pour l'aide

++

[GalaxieA440]

Voila la correction de cet exo 19, toute bien rédigée, et qui sera remplacée . Merci à Molette d'avoir repéré l'erreur

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Montrons que

Supposons tout d'abord que a^b=d et (a²+b²)^ab=d', avec d' différent de 1

Par définition, d'|ab.

Soit k un nombre premier apparaissant dans la décomposition en facteurs premiers de d'.

k|d', or d'|ab k|ab, et k étant premier, k|a ou k|b.
Et, k|a²+b² et k|ab, donc k divise toutes combinaisons linéaire de a²+b² et de ab.
Donc, k|a²+b²+2ab , k|(a+b)² (entre autre), et k étant premier, alors k divise necessairement a+b
On a donc, k|a ou k|b, et k|a+b
* Si k|a, alors k|a+b-a, k|b (entre autre)
* Si k|b, alors k|a+b-b, k|a (entre autre)

Donc, sachant que d|a et d|b, d doit nécessairent être différent de 1, sans quoi il y aurai contradiction avec le fait que a et b soit premiers entre eux (s'ils sont divisilbes par d et k)

On a donc montré que la proposition : "a²+b²^ab=d' avec d' différent de 1" implique la proposition : "a^b=d avec d différent de 1".

Or,

En conclusion, par contraposition,

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Si vous détectez une boulette, merci de la signaler, sinon, ce sera ajouté dans le fil des exos comme correction de l'exo 19 ...

++

[invite1237a629]

^^

Donc, sachant que d|a et d|b, d doit nécessairent être différent de 1, sans quoi il y aurai contradiction avec le fait que a et b soit premiers entre eux (s'ils sont divisilbes par d et k)

J'ai un peu du mal avec ce passage...

Il suffit de dire que k est différent de 1, et tu viens de montrer que k divise a et b. Donc a et b ne sont pas premiers entre eux et a^b différent de 1.

On a donc pgcd(a²+b²,ab) différent de 1 => pgcd(a,b) différent de 1.

Et contraposée en effet ^^

Et fais gaffe aux fautes d'orthographe


(joli exercice d'application ^^)

[invite1237a629]

Voila la correction de cet exo 19, toute bien rédigée, et qui sera remplacée . Merci à Molette d'avoir repéré l'erreur

--------------------------

Montrons que

Supposons tout d'abord que a^b=d et (a²+b²)^ab=d', avec d' différent de 1

Par définition, d'|ab.

Soit k, différent de 1, un nombre premier apparaissant dans la décomposition en facteurs premiers de d'. (bon, certes, 1 n'est pas un nombre premier, mais la chose n'est pas assez connue malheureusement...)

k|d', or d'|ab k|ab, et k étant premier, k|a ou k|b.
Et, k|a²+b² et k|ab, donc k divise toute combinaison linéaire de a²+b² et de ab.
Donc, k|a²+b²+2ab , k|(a+b)² (entre autre), et k étant premier, alors k divise nécessairement a+b
On a donc, k|a ou k|b, et k|a+b
* Si k|a, alors k|a+b-a, k|b (entre autre)
* Si k|b, alors k|a+b-b, k|a (entre autre)

Donc dans les deux cas, on a : k divise a et b. Donc k divise le pgcd de a et b (propriété du cours), d. Donc d est nécessairement différent de 1.

On a donc montré que la proposition : "a²+b²^ab=d' avec d' différent de 1" implique la proposition : "a^b=d avec d différent de 1".

Or,

En conclusion, par contrapposition,

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Si vous détectez une boulette, merci de la signaler, sinon, ce sera ajouté dans le fil des exos comme correction de l'exo 19 ...

++

Voilà ce que je mettrais ^^ Si t'es pas d'accord, c'est ton sujet. Beau boulot en tout cas !

[GalaxieA440]

Plop Molette

C'est vrai que c'est peut être plus clair comme ça J'ai déja envoyé la correction à Gwydon, mais ok pour rajouter cette petite ligne rouge (tu pourrais faire ça en tant que nouvelle super-modos )

C'est vrai que c'est un exo d'application assez sympa puisqu'il fait utiliser pas mal de notions qu'on retrouve assez souvent pour ce genre d'implication... J'en posterai un deuxième dans le week end...

Cimer

+++

[Gwyddon]

Plop Molette

C'est vrai que c'est peut être plus clair comme ça J'ai déja envoyé la correction à Gwydon, mais ok pour rajouter cette petite ligne rouge (tu pourrais faire ça en tant que nouvelle super-modos )

MiMoiMolette n'est pas modératrice en maths...

Je (re)corrige.

Bonne soirée

[GalaxieA440]

Merci Mister Gwydon

Bonne soirée aussi

++