Exercice : Olympiades

[invite2220c077]

Pas forcément.
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[bubulle_01]

Dans le même genre : Résoudre dans N :

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Donc
Or et
Donc
Soit , soit
Or tout nombre divisible par 9 est divisible par 3 donc :

Mais 3 divise mais ne divise pas 8. Donc 3 ne divise pas pour toutes les valeurs de
Ainsi, l'équation de départ n'admet aucune solution.

Voilà ma solution. Je la trouve assez simple donc j'ai pu me tromper quelque part ...

EDIT : Ok pour le dernier exercice, je pense donc avoir une solution, je la mettrais par écrit plus tard.

[invite2220c077]

Oui c'est ça pour l'exo

[bubulle_01]

Ou encore : Trouver tous les entiers de sorte qu'il existe des entiers et vérifiant :

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De plus et
On a donc :

On en déduit que
Ainsi
Montrons que cette égalité admet des solutions pour tout strictement positif :
Pour , convient.

Posons , composés de fois le chiffre 9 (m supérieur ou égal à 1)
On a donc :

En posant l'addition, on a :
, composé de fois le chiffre 9.
On a donc :

Soit, plus clairement, avec
Pour , l'égalité est aussi vérifiée.
On en déduit que toutes les solutions sont tous les entiers divisibles par 9.

Bon, tout ceci n'est pas très bien formulé, mais vous m'aurez compris ^^

[invite2220c077]

Impec

[bubulle_01]

Tu as utilisé le même procédé pour résoudre l'exercice ?

[invite2220c077]

Oué, sauf que je n'ai pas pris a = b, ce qui aurait faciliter la chose

[bubulle_01]

Ba donne ta solution, je trouverais peut-être cela encore plus facile ^^

Au fait, elles se passent comment tes olympiades ?

[invite2220c077]

Au départ je fais pareil que toi à peu près sauf qu'après je prends n = 9p avec a = 531531...531 avec 3p chiffres et b = 171171...171 avec 3p chiffres.

[bubulle_01]

Ok ok, ca équivaut en effet à la même chose
Bon, j'ai un nouvel exercice, dont je vais proposer une solution (il y a peut-être plus facile, et il manque sûrement quelques détails.) :
Existe-t-il trois entiers strictement positifs ,, vérifiant ?

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Supposons qu'un couple vérifie cette relation. On a donc :

Par conséquent :
soit
On a donc avec entier.
et sont premier entre eux et divise donc divise soit soit (on vérifie que c'est la seule congruence qui convient).
On a donc soit avec entier
L'équation se réecrit donc :
soit .
On a par conséquent :
soit soit
On a donc :
soit
L'équation se réecrit alors :
soit
D'o`on extrait facilement de la même manière :
soit soit
L'équation se réecrit :
soit
Le couple est donc solution de l'équation.
Ainsi, pour tout couple solution, est solution soit est solution pour tout n de
Mais, pour tout de , on peut trouver tel que soit soit n'est pas entier.
D'un couple solution, on peut donc trouver un couple solution, où l'un au moins des termes n'est pas un entier, ce qui est contradictoire.
Ainsi, l'équation de départ n'a pas de solution.