Pas forcément.
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Pas forcément.
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Donc
Oret
Donc
Soit, soit
Or tout nombre divisible par 9 est divisible par 3 donc :
Mais 3 divisemais ne divise pas 8. Donc 3 ne divise pas
pour toutes les valeurs de
Ainsi, l'équation de départ n'admet aucune solution.
Voilà ma solution. Je la trouve assez simple donc j'ai pu me tromper quelque part ...
EDIT : Ok pour le dernier exercice, je pense donc avoir une solution, je la mettrais par écrit plus tard.
Oui c'est ça pour l'exo![]()
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De pluset
On a donc :
On en déduit que
Ainsi
Montrons que cette égalité admet des solutions pour toutstrictement positif :
Pour,
convient.
Posons, composés de
fois le chiffre 9 (m supérieur ou égal à 1)
On a donc :
En posant l'addition, on a :
, composé de
fois le chiffre 9.
On a donc :
Soit, plus clairement,avec
Pour, l'égalité est aussi vérifiée.
On en déduit que toutes les solutions sont tous les entiersdivisibles par 9.
Bon, tout ceci n'est pas très bien formulé, mais vous m'aurez compris ^^
Impec![]()
Tu as utilisé le même procédé pour résoudre l'exercice ?
Oué, sauf que je n'ai pas pris a = b, ce qui aurait faciliter la chose![]()
Ba donne ta solution, je trouverais peut-être cela encore plus facile ^^
Au fait, elles se passent comment tes olympiades ?
Au départ je fais pareil que toi à peu près sauf qu'après je prends n = 9p avec a = 531531...531 avec 3p chiffres et b = 171171...171 avec 3p chiffres.
Ok ok, ca équivaut en effet à la même chose
Bon, j'ai un nouvel exercice, dont je vais proposer une solution (il y a peut-être plus facile, et il manque sûrement quelques détails.) :
Existe-t-il trois entiers strictement positifs,
,
vérifiant
?
Cliquez pour afficherSupposons qu'un couplevérifie cette relation. On a donc :
Par conséquent :
soit
On a doncavec
entier.
et
sont premier entre eux et
divise
donc
divise
soit
soit
(on vérifie que c'est la seule congruence qui convient).
On a doncsoit
avec
entier
L'équation se réecrit donc :
soit
.
On a par conséquent :
soit
soit
On a donc :
soit
L'équation se réecrit alors :
soit
D'o`on extrait facilement de la même manière :
soit
soit
L'équation se réecrit :
soit
Le coupleest donc solution de l'équation.
Ainsi, pour tout couplesolution,
est solution soit
est solution pour tout n de
Mais, pour toutde
, on peut trouver
tel que
soit
soit
n'est pas entier.
D'un couplesolution, on peut donc trouver un couple
solution, où l'un au moins des termes n'est pas un entier, ce qui est contradictoire.
Ainsi, l'équation de départ n'a pas de solution.