Question barycentre, juste par curiosité

[invited0befd3a]

Bonjour, je regarde mon livre de math, et je trouve ce probleme :

ABCD est un tétraèdre. Soit I le milieu de l'arete [AD], G le centre de de gravité du triangle ABC, E le point tel que l quadrilatere BDCE soit un parallélogramme.




question :
a) Déterminer des nombres entiers b,c et d tels que le point E soit le barycentre des points pondérés ( B;b),(C,c) et (D;d).
( donc là je dis que d'apres Chasles, DB + DC = DE. Par là je calcule et je trouve E=bar{(B;1)(C;1)(D;1)}

b) Déduire de la question précédente que la droite (GI) coupe le plan (BCD) en E.
c) Préciser la position de E par rapport aux points G et I.

Merci de m'aider si possible, mais vous inquétiez pas c'est pas un devoir, ou un exos à rendre, je le fait juste pour m'entrainer au cas d'un controle ^^.
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[invite7d436771]

Bonsoir,

Juste une idée comme ça, G est le centre de gravité de ABC donc c'ets le barycentre de A,1 B,1 et C,1. I est le milieu de [AD] donc le barycentre de A,1 et D,1. Peut-e^tre qu'en manipulant un peu tout ça on obtient quelque chose ...

Cordialement,

Nox

[invite57a1e779]

question :
a) Déterminer des nombres entiers b,c et d tels que le point E soit le barycentre des points pondérés ( B;b),(C,c) et (D;d).
( donc là je dis que d'apres Chasles, DB + DC = DE. Par là je calcule et je trouve E=bar{(B;1)(C;1)(D;1)}

1. Ta relation de Chasles me paraît bien bizarre, mais le résultat DB + DC = DE est exact.

2. bar{(B;1)(C;1)(D;1)} c'est le centre de gravité du triangle BCD, qui ne me semble pas être le point E. Tu devrais revoir tes coefficients barycentriques, l'un d'eux doit être -1.

[invited0befd3a]

oui excuse moi je me suis trompé en écrvant sur le topic mais D vaut -1 et pas 1 ^^.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

oui excuse moi je me suis trompé en écrvant sur le topic mais D vaut -1 et pas 1 ^^.

Ensuite tu dois pouvoir I et G comme barycentres de systèmes simples de points, et montrer que E est barycentre de I et G par "associativité des barycentres"

[invited0befd3a]

mais vous trouvez quoi en manipulant?? parce que je tourne en rond là, j'essaie en utilisant l'associativité par exemple , mais rien.
Parce qu'il faut trouver , avec la réponse de la question précédante, autrement dit avec E le barycentre de (B;1)(C;1)(D;-1)

[invite57a1e779]

I est milieu de [AD], peux tu exprimer I comme un barycentre ?
G est le cetre de gravité du triangle ABC, peux tu exprimer I comme un barycentre ?

[invited0befd3a]

oui oui sa j'ai bien compris .
Mais je crois que j'ai trouvé, juste jespere que j'ai le droit, I=bar{(A;1)(D;1)}, puis-je l'exprimer également comme I=bar{(A;-1)(D;-1)}???

SI oui je crois bien avoir trouvait, car par associativité, (avec G barycentre de A;1 B;1 et C;1, on tombe sur B;1 C;1 D;-1 ( qui est le barycentre de E.
Donc, comme E appartient au plan BCD, (IG) coupe ce plan en E

[invite57a1e779]

oui oui sa j'ai bien compris .
Mais je crois que j'ai trouvé, juste jespere que j'ai le droit, I=bar{(A;1)(D;1)}, puis-je l'exprimer également comme I=bar{(A;-1)(D;-1)}???

N'y a-t-il pas un résultat qui dit que bar{(A;a)(D;d)} = bar{(A;ka)(D;kd)} pour tout k non nul ?
Mais tu peux garder les coefficient 1 pour A et D, voir ma remarque ci-dessous

SI oui je crois bien avoir trouvait, car par associativité, (avec G barycentre de A;1 B;1 et C;1, on tombe sur B;1 C;1 D;-1 ( qui est le barycentre de E.
Donc, comme E appartient au plan BCD, (IG) coupe ce plan en E

Tu as compris le principe et je souhaite que tu ne te sois pas fait trop mal en tombant sur sur B;1 C;1 D;-1.

Tu as I barycentre de (A,1),(D,1), et G barycentre de (B,1),(C,1)(D,-1.
Tu calcules le barycentre de (I,a),(G,b) par associavité, que trouves-tu ?

[invited0befd3a]

bon, en faisant comem si sa fonctionne, je trouve donc ce résultat, et pour la question c, j'utilise la propriété fondamentale avec E=bar{(G;3)(I;-2)}
et je trouve effectivement une position du point E qui est (en vecteurs biensur) EG= 2/3EI.


Mais juste, si donc la méthode pour la question b est exacte, pouvais vous me montrer comment le rédiger bien comme il faut car je m'embrouille un peu. J'ai posé F=bar{(A;1)(B;1)(C;1)(A;-1)(D;-1)}
F=bar{(B;1)(C;1)(D;-1)}
F=bar{(E;1)}
F=bar{(E;1)} et que donc E=bar{(G;3)(I;-2)}

[invited0befd3a]

désolé, j'écrivé mon message avant d'avoir ton dernier ^^.

Donc pour te répondre, si je le calcule en gardant (A;1)(D;1) , je trouve un barycentre de (A;1)(B;1)(C;1)

[invited0befd3a]

?????????????

[invite57a1e779]

bon, en faisant comem si sa fonctionne, je trouve donc ce résultat, et pour la question c, j'utilise la propriété fondamentale avec E=bar{(G;3)(I;-2)}
et je trouve effectivement une position du point E qui est (en vecteurs biensur) EG= 2/3EI.


Mais juste, si donc la méthode pour la question b est exacte, pouvais vous me montrer comment le rédiger bien comme il faut car je m'embrouille un peu. J'ai posé F=bar{(A;1)(B;1)(C;1)(A;-1)(D;-1)}
F=bar{(B;1)(C;1)(D;-1)}
F=bar{(E;1)}
F=bar{(E;1)} et que donc E=bar{(G;3)(I;-2)}

La rédaction est correcte, en expliquant comment tu utilises l'assciativité du barycentre.

Sinon, soit J le barycentre de (A;-1),(D;-1).
Quelle est la caractérisation avec des vecteurs de J ?

[invited0befd3a]

hmm, ne serais-ce pas (-1 -1 )MJ= -1MA - 1 MD ?? ( propriété fondamentale )

[invite57a1e779]

hmm, ne serais-ce pas (-1 -1 )MJ= -1MA - 1 MD ?? ( propriété fondamentale )

Si, et tu dois bien voir, à partir de là, que J est aussi le barycentre de (A;1),(D;1), donc J=I...