Nécessité des irrationnels pour avoir un espace continu

[invite6bfc4d3f]

Salut.

J'aimerais savoir si vous auriez une explication simple pour comprendre le fait qu'il faille les nombres irrationnels pour rendre l'espace continu.

Difficile de comprendre pourquoi sans eux il y a du "vide", et pourquoi ces nombres qui viennent remplir l'espace ne peuvent s'écrire de manière finie.

J'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance ^_^
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[danyvio]

La question est un peu maladroite, mais pour faire simple, et sans aller dans des concepts d'analyse (théorie des coupures et autres joyeusetés qu'on voit en supérieur), retiens par exemple que sur un axe représentant tous les nombres de - à + , il existe d'autres points que les rationnels : c'est la cas archi classique de dont il est démontré depuis longtemps qu'il ne peut être exprimé par une fraction rationnelle, même si on peut encadrer de près sa valeur par deux rationnels.

[invite6bfc4d3f]

Merci pour la réponse.

Pythagore utilisait sans l'avoir défini des espaces continus en travaillant sur le triangle rectangle, et il est tombé sur des irrationnels qui sont associés à ces espaces. Ce que j'aimerai comprendre c'est pourquoi ils sont là.

L'idée de coupure je l'ai trouvé dans Analyse tome 1 de Godement, mais ce n'est qu'une interprétation des irrationnels, pas une explication de la nécessite de leur existence