Suite en géométrie

[invite2f6def43]

Bojour !

Voila j'ai un petit problème pour un exercice, qui comporte sur les suites en géométrie.

Voici le sujet :
Combien de régions du plan, 50 droites délimitent-elles, sachant que trois quelconques d'entre elles ne sont pas concourantes, ni deux quelconques d'entre elles parallèles ?

a)Faites une figure et comptez les régions dans les cas de 1,2,3, puis 4 droites.
Ici, je ne compren pas deja ce qu'ils veulent dire par région du plan. Une région, est-ce-que c'est par exemple la partie en haut a gauche du plan, délimitée par les axes ??
b)Essayez de dégager une loi expliquant comment ces réultats sont obtenus.
La je ne sais pas du tout que faire xD

Ensuite il y en a d'autres, que je posterai quand j'aurait compris ces deux là, et si ça en vaut la peine
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[invite3df1c846]

Bonjour!!!

Pour ce qui est des différentes régions dont parle ton énoncé, je pense que c'est en fait le nombre de partie du plan ("figure" géométrique si je puis dire) que tu peux dénombrer. Donc pour zéro droite une, pour une droite deux, pour deux droites (3 ou 4 selon si elles sont parallèles ou concourantes),etc...

Par contre sans plus de précision sur la construction de chaque droite les unes après les autres je vois mal comment on peut en tirer une règle car le nombre de régions compté diffère selon si les droites se recoupent en un même point, sont sécantes ou bien parallèles...

Donc je sais pas s'il y a moyen d'avoir un peu plus d'informations (si toi tu en as déjà). Sinon ben c'est vrai que c'est pas évident avec les données que t'as.

Désolé de pas pouvoir plus t'aider pour l'instant!!

[invite35452583]

Les informations sont données puisqu'il est précisé que

trois quelconques d'entre elles ne sont pas concourantes, ni deux quelconques d'entre elles parallèles

Toutes les hypothèses permettant de calculer le nombre de zones sont donc bien présentes.

Donc mokha tu as tout ce qu'il faut pour faire le a).
Postes tes résultats pour voir si tu as déjà bien compris cette partie.

[invite3df1c846]

Les informations sont données puisqu'il est précisé que

Toutes les hypothèses permettant de calculer le nombre de zones sont donc bien présentes.

Donc mokha tu as tout ce qu'il faut pour faire le a).
Postes tes résultats pour voir si tu as déjà bien compris cette partie.

Mouai mais pour calculer les cas particuliers 1, 2, 3 et 4 droite, on dénombre différemment selon la position des droites nan?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2f6def43]

A merci Jum06 je voit maintenant ce qu'ils veulent dire par "région du plan "
Par contre, j'ai posté le sujet complet, donc je n'ai pas plus d'informations

Dsl je n'arrive pas a poster d'image de mon travail, bref je trouve :

a)Dans le cas d' une droite, j'ai 2 régions dans le plan.
Dans le cas de deux droites, j'ai 4 régions dans le plan.
Dans le cas de trois droites, j'ai 6 régions dans le plan.
Dans le cas de quatre droites, j'ai 8 régions dans le plan.
Es-ce cela ??

Apellons la premiere droite R1, la seconde R2, la troisieme R3, ainsi que la einieme droite Rn.
b)Si on doit dégager une loi selon ces resultats, je pense a R2=R1+2
R3=R2+2
R4=R3+2
En généralisant avec n, cela me fait donc... R(n+1)=Rn+2 ou Rn=R(n-1)+2 ou Rx=Rn+2^x, ce qui est la meme chose.

Question suivantes :
c) Vous pouvez alaborer un programme sur calculatrice ou tableur pour calculer R50. Pouvez vous m'aider pour ça ? J'ai du mal a utiliser oppen office, et sur ma calculette je ne sais pas comment m'y prendre.

d)Vous pouvez chercher aussi à exprimre R50 à l'aide de n et utiliser cette formule pour calculer le terme de R50.
Ici je pense a R50=Rn+2^50, mais je ne suis pas sur du tout.
Voila

[invite35452583]

Mouai mais pour calculer les cas particuliers 1, 2, 3 et 4 droite, on dénombre différemment selon la position des droites nan?

Non, la condition de non parallélisme 2 à 2 et non concourance 3 à 3 suffisent (et sont nécessaires).

a)Dans le cas d' une droite, j'ai 2 régions dans le plan.
Dans le cas de deux droites, j'ai 4 régions dans le plan.
Dans le cas de trois droites, j'ai 6 régions dans le plan.
Dans le cas de quatre droites, j'ai 8 régions dans le plan.
Es-ce cela ??

Oui pour 1 et 2, non pour 3 et 4.
Pour 3 droites, un triangle apparaît. On peut associer certaines zones "infinies" plus particulièrement à un sommet, certaines zones "infinies" plus particulièrement à un côté du triangle et il y a en plus l'intérieur du triangle. Ça aide à compter (pour ce cas particulier) et on n'obtient un peu plus que 6.

Je me demande si tu n'as pas pris des droites passant toutes par un même point. Car dans ces conditions alors on a les résultats que tu annonces. Mais ce ne sont pas les conditions du problème qui sont, one again : les droites se coupent 2 à 2 (non parallélisme) mais un point intersection de deux droites n'est sur aucune autre droite (droites non concourantes).

[invite2f6def43]

Oki... donc pour trois droites, on a 7 régions.
et pour quatres droites, j'obtient... 11 régions si je ne me trompe pas.

Et ça change tout....
Apellons toujours la premiere droite R1, la seconde R2, la troisieme R3, ainsi que la einième droite Rn.

En généralisant avec n, j'obtient alors Rn = R(n-1)+n n'est ce pas ?

Aide pour les questions suivantes ?

[invite3df1c846]

Non, la condition de non parallélisme 2 à 2 et non concourance 3 à 3 suffisent (et sont nécessaires).

Effectivement je ne l'avais pas du tout perçu comme cela, en fait je n'avais pas réellement donné d'importance au "quelconque", alors que tout ce joue sur ce mot!!!! (Un peu paradoxal d'ailleurs)

Pour ce qui est de tes réponses Mokha, tout est bon tu as donc



Grâce à cette égalité tu dois pouvoir trouver en fonction de , et de , (en remplaçant par son expression puis ensuite ..., et en généralisant ensuite jusqu'à )

Tu pourras donc enfin, grâce à la connaissance de et de ton rang n (ici 50), avoir le nombre de régions pour !!!!!

[invite2f6def43]

J'ai du mal a exprimer Rn avec Ro et n.

Rn=R(n-1)+n

R1=Ro+1
R2=R1+2=Ro+2+1
R3=R2+3=Ro+3+2+1
R4=R3+4=Ro+4+3+2+1
...
Rn=Ro+... !!!!!
je sais que c'est n*(1+2+3+...+n), mais je ne sais pas comment l'exprimer afin de le mettre dans la formule

[invite3df1c846]

J'ai du mal a exprimer Rn avec Ro et n.

Rn=R(n-1)+n

R1=Ro+1
R2=R1+2=Ro+2+1
R3=R2+3=Ro+3+2+1
R4=R3+4=Ro+4+3+2+1
...
Rn=Ro+... !!!!!
je sais que c'est n*(1+2+3+...+n), mais je ne sais pas comment l'exprimer afin de le mettre dans la formule

T'as compris le raisonnement sauf que tu n'as pas n*(1+2+...+n) mais seulement 1+2+3+...(n-1)+n

Tu as plusieurs solution pour simplifier ce terme :

Soit tu mets l'espère d'epsilon pour signifier la somme du rang un au rang n (ce que tu n'as peut-être que rarement utilisé), ou soit tu peux démontrer facilement que la somme de N chiffres qui se suivent respecte une formule toute simple (enfin relativement).

Je te conseille la seconde solution : pour cela tu poses S=1+2+3+...+(n-1)+n puis tu écris juste en dessous que S=n+(n-1)+...+3+2+1 en alignant bien les termes et tu verras qu'en additionnant tes deux lignes (soit 2S), tu trouveras quelque chose de beaucoup plus simple.

Tu divises par deux et le tour est joué tu as ta formule de 1+2+...+n !!!

[invite2f6def43]

Je croit avoir compris le truc !

Par contre, sur les deux solution que tu a proposé, les deux sont aussi faciles l'une que l'autres mais bon
Pour la premiere bon je met le signe epsilon la et c bon...
Pour la deuxieme je fait donc :
S=n+(n-1)+...+3+2+1
S=1+2+3+...+(n-1)+n
Donc
2S=(n+1)+[2+(n-1)]+3+3+[2+(n-1)]+(n+1)
D'ou
S=1/2n+1/2n+3+3+1/2n+1/2n
S=2n+6

Est-cela ??

[invite3df1c846]

Je croit avoir compris le truc !

Par contre, sur les deux solution que tu a proposé, les deux sont aussi faciles l'une que l'autres mais bon
Pour la premiere bon je met le signe epsilon la et c bon...
Pour la deuxieme je fait donc :
S=n+(n-1)+...+3+2+1
S=1+2+3+...+(n-1)+n
Donc
2S=(n+1)+[2+(n-1)]+3+3+[2+(n-1)]+(n+1)
D'ou
S=1/2n+1/2n+3+3+1/2n+1/2n
S=2n+6

Est-cela ??

lol ouai presque sauf que tu oublies que t'as tes trois petits points !!!

Donc ça te fait 2S=[1+n]+[2+(n-1)]+[3+(n-2)]+...+[(n-1)+2]+[n+1]

Et là normalement tu peux remarquer que chaque partie entre parenthèse vaut n+1 et que ce nombre de partie se répète n fois donc tu peux écrire que 2S=... d'où tu déduis S=... et enfin Rn=...(fonction de Ro et n)

[invite2f6def43]

Eh bien décidement... je vais aller me coucher je suis crevé

Mais d'abord, voyons voyons :

On voit que 2S=[1+n]+[2+(n-1)]+[3+(n-2)]+...+[(n-1)+2]+[n+1], et que tout cela equivaut a => 2S=n(n+1)
D'ou S=(n²+n)/2
=> Rn=Ro+(n²+n)/2

Essayons avec R4 :
R4=1+(4²+4)/2
R4=11 , ce qui est ce que nous avions vu précédement :

Donc c'est bon

Calculons alors R50 :
R50=1+(50²+50)/2
R50=1275.

En prenant ma calculatrice, j'ai trouvé en faisant le calcul manuel : 1275

Voila bah..Jum06 merci de ton aide, et a bientot

[invite3df1c846]

ça paraît pas mal d'autant plus si ça marche avec les valeurs calculées précédemment ce qui est plutôt bon signe!!

Bonne continuation à toi!!

Au plaisir !!