Bonjour a tous, j’ai commencé mon DM de math et je bloque sur une question, voici l’énoncé :
On a In = Int(0;2) 1/n!*(2-x)^n*e^x dx
1) Calculer I1
Ici j'ai fait une integration par partie, j'ai eu e^2-3
2) Etablir que 0<=In<= (2^n)/n!*(e^2-1)
Pour 0<= In, je pense que c'est normal puisque par définition In ne peut pas être négatif, par contre pour l'autre partie je n'ai aucune idée...
Pouriez vous m'eclairer s'il vous plait ?
si j'ai bien compris
J'obtiens la même chose pour I1 ce n'est pas forcément mauvais signe.
Pour la seconde question, je suppose que tu as vu en cours que
si sur [a,b], a<=b, on a
La voie la plus simple est d'appliquer cette propriété, l'intégrale du milieu sera In, à gauche on veut 0 (ça ce n'est pas dur à appliquer), à droite on veut trouver une fonction h "qui va bien".
Pour trouver h, on regarde la "tête" de ce qu'il faut obtenir, parmi les divers facteurs de
Merci, c'est bien cette integrale, je ne sais pas comment on les faits sur ce forum.
Je suis en train de chercher la solution grace aux indications de homotopie...
Je pense avoir trouver.
On part de 1/n! < 2^n/n!
On multiplie par (2-x)^n*e^x et on integre, on obtient donc
In< Int(0;2) 2^n/n! * (2-x)^n*e^x
On fait ensuite une integration par partie pour calculer Int(0;2) 2^n/n! * (2-x)^n*e^x , et on obtient bien
In< (2^n)/n!*(e^2-1)
Est-ce que c'est la bonne methode ?
Un logiciel LaTeX est installé (clique sur le lien en bleu pour des explications) sur le forum.Envoyé par Art3
Ok merci,, je reecris donc mon precedent message :
On part de
On multiplie par
et on integre, on obtient donc
On fait ensuite une integration par partie de
et on trouve bien ce que l'on veut (
Est-ce la bonne methode ?
pas sûr tu as toujours ton 2^n qui n'est pas à la base dans ton In!!
Je pense plutôt qu'il faut partir de 2 >= (2-x) lorsque 0 <= x <= 2
Sinon le raisonnement est bon il me semble!!!
EDIT : nan en plus j'ai mal lut mais l'expression avec laquelle tu majores In, tu n'as pas montré qu'elle était elle-même majorée par l'expression de départ... Ou alors j'ai pas suivi
je me suis trompe aussi, ce n'est pas
apres par multiplication successive on trouve ce que j'ai mis...
Dsl d'utiliser deux messages pour ça, mais j'aurais dû plus prendre le temps pour répondre la première fois :
Le but de la majoration initiale (le mieux serait ce que je t'ai dit dans le post précédent) est que lorsque tu vas avoir à intégrer comme te l'a expliqué homotopie, tu n'ai pas à avoir, pour ta fonction majorante h, à faire une intégration par partie avec ton exposant n!!
Pour cela il faut donc commencer par majorer cette expression (2-x) par quelque chose ne dépendant pas de x, comme ça pas d'intégration par partie pour la fin !!!!
Pour tout démontrer d'une seule fois tu peux d'ailleurs minorer par 0 le (2-x) et multiplier, intégrer,... de façon à arriver avec In au milieu au final!!!
Ce que tu racontes là c'est que (après élimination de la fraction 2n/n!)
On fait ensuite une integration par partie de
et on trouve bien ce que l'on veut (
Est-ce la bonne methode ?
Or pour n très grand (2-x)n est très grand entre 1+chouïa et 2, ex>1 donc l'intégrale tend vers +infini et n'est certainement pas majoré par une constante telle que e²-1.
Regarde In il y a trois facteurs idem pour le majorant donné par l'énoncé. Le jeu consiste à savoir lesquels on garde tels quels (quitte à devoir les intégrer après) lesquels on peut se permettre une majoration (il ne faut pas majorer à la légère, par exemple 1/n! < 1 mais en utilisant cette majoration on ne pourra plus obtenir la majoration voulue, ce 1/n! étant des deux côtés le plus simple est de se contenter de 1/n! <= 1/n! )
Merci, j'ai trouver ce qu'il faut
