Problème en trigo (multiplication, division d'un ou plusieurs arcs)

[invite702ec9ab]

Bonsoir a tous !

J'ai encore un problème en trigonométrie, j'ai pu constater la dernière fois qu'il y en avait qui maîtrisaient un peu plus le sujet que moi c'est pourquoi je me permet de revenir poster ici ! Le sujet traite de multiplication et division d'arcs.

1) Résoudre l'équation :

sin x + racine carrée 3 .cos x = racine carrée 2

Ici je peux encore changer racine carrée 3 en tg pi / 3 , mais ensuite ?

2) Démontrer que si A, B, C sont les angles d'un triangle, on a :

tg A + tg B + tg C = tg A tg B tg C

J'ai commencé par faire => tg C = - tg (A + B) ... Je pense que c'est un départ mais pour arriver a la solution je ne vois pas...

3) Etablir que l'on peut écrire :

a) 1 + sin x / cos x = tg ( pi / 4 + x / 2 )

b) cos a = racine carrée 6 + racine carrée 2 / 4

Calculez cos 2a et en déduire la valeur de l'angle a, supposé aigu.

4) Démontrer les identités suivantes :

a) sin 3 x / sin x + cos 3x / cos x = 4 cos 2 x

b) sin 2a / 1 + cos 2a * cos a / 1 + cos a = tg a / 2

Pour le b ici => sin a = 2 sin a / 2 cos a / 2

Ca me fait 4 exercices incompris sur 5 , pouvez vous m'aidez svp !
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[invite7ffe9b6a]

alors pour le premier

sin x + racine carrée 3 .cos x = racine carrée 2

divisons tous par 2.

Nous obtenons



a gauche si on regarde attentivement on reconnait un truc de la forme
cos (a) sin(x)+cos(x)sin(a)
or on sait que ceci est egale à sin(a+x)
a droite on reconnait le sinus de quelque chose.
l'equation devient sin(a+x)=sin(c) d'inconnu x et sa on sait resoudre.

Je poste la solution complete en spoiler dans un futur post (dans 2 min a peu pres)

[invite7ffe9b6a]

Regarde ici si tu vois vraiment pas ce que je veux dire

 Cliquez pour afficher

on a donc




soit



soit



on en déduit les 2 familles de solutions



et



soit finalement


ou


En esperant ne pas avoir fait d'erreur de calcul

[invite702ec9ab]

Bonjour !

Alors avant tout merci a tous pour vos réponses très pertinentes et rapides !

Cependant je bloque toujours sur le 4).
Je pense que pour le 4)a) il faut réduire au même dénominateur...
et pour le b) utiliser 1 + cos 2 a = 2 cos²a ou 1 + cos a = 2 cos² a / 2.

Quelqu'un aurait une idée de départ ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite702ec9ab]

Pour le a) en réduisant au même dénominateur :

(sin 3 x cos x) / (sin x cos x) + (cos 3x sin x) / (cos x sin x) = 4 cos 2 x

sin 3 x cos x * sin x cos x + cos 3x sinx * cosx sinx ... Est ce exacte ?

Je devrais avoir sin 4x (sin 2x 2x) au numérateur seulement je n'y arrive pas. Ensuite je pourrais transformer cos x.sinx par 1 / 2 sin 2x.

Comment faire ?

[invite702ec9ab]

Le numérateur est de forme => sin (a + b)

ce qui donne :

(sin 4 x) / cos x sin x

Au numérateur je tombe sur sin 4 x = 4 sin x cos x ( 2 cos² x - 1 ) ce qui ne m'arrange pas du tout...

J'explique : sin 4 x = 2 sin 2x cos 2x

or : sin 2x = 2sinx cosx et cos2x = 2cos² x -1

d'où : sin 4x = 2 * 2 sinx cosx (2cos² x -1)

soit : sin 4x = 4sinx cosx (2cos² x - 1)

Où est mon erreur et surtout par ou faut il passer ? Merci d'avance.

[invite702ec9ab]

Merci a tous après plusieurs heures passées la dessus et quelques visites sur d'autres forum j'ai enfin trouvé mon bonheur ! merci encore et bonne soirée a tout a le monde !