equations différentielles

[inviteacfe1a55]

Bonjour,

Dans les annales, on me demande de trouver une solution à l'équa dif
y''+2y'+y=0

seulement on a pas fait ce cours.. du moins avec la dérivée seconde.

si quelqu'un peut me dire la solution générale d'une telle équation?

merci
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[invitea250c65c]

Bonjour,

Si c'est pour le bac en effet le second ordre n'est pas au programme.
Cependant si on te demande de trouver une solution de l'équation, tu peux essayer de le faire par tatonnement. Le plus simple est de dire que la fonction nulle convient, mais après ca depend ce n'est peut-être pas exactement ce qu'on te demande.

A+

[invite49b54ac2]

y=Ae^(-x)+Bxe^(-x) avec A et B appartenant à R

[invitea250c65c]

Edit : si ca t'interesse toutes les solutions sont de la forme (avec et et b réels) mais ce n'est pas au programme de TS (et encore moins au programme du BAC ).

A+

Edit de l'édit : grillé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited622d663]

Electrofred, si tu dis ça en général pour les équation différentiel du second ordre je ne suis pas vraiment d'accord...

Tu devrais plutôt dire ici que

y''+2y'+y=0

Ici c'est à coefficient constant donc on met sous forme de l'équation caractéristique :

x^2+2x+1=0

Delta= 0

donc c'est de la forme (Ax+b)e^(k*x)

Vue que -2/2=-1 alors k=-1 n'est ce pas ?


Si je me trompes dites le moi merci

[invite49b54ac2]

Edit : si ca t'interesse toutes les solutions sont de la forme (avec et et b réels) mais ce n'est pas au programme de TS (et encore moins au programme du BAC ).

A+

Edit de l'édit : grillé

nn c faux, ce que tu dit n'est valable que pour des racines doubles de l'équation caractéristiques.

[invitea250c65c]

toutes les solutions sont de la forme (avec et et b réels)

Je parlais de cette équation particulière (y''+2y'+y=0), en effet désolé je ne l'ai pas précisé.
Mais toutes les équations du second ordre n'admettent pas des solution de cette forme, comme vous l'avez précisé (d'ailleurs ratina tu as du voir en physique que dans certains cas on avait des solutions en sinus et cosinus ...).

A+

[inviteacfe1a55]

Ok si ça n'est pas au programme ca me rassure.

J'avais chercher des cours sur internet, et en plus de vos explications je crois que j'ai saisi la base, mais après pour l'application c'est une autre histoire.
Notamment quand on a une équation de la forme
ay"+by'+cy=exp(-x) par exemple (ou a b c sont des réels)

Je me souviens pas des résolutions en cos sin en physique mais il me reste encore 3 chapitres à réviser ça doit être dans ceux la.

Merci à vous

[inviteacfe1a55]

Êtes vous sur que ça n'est pas au programme car ce sont des annales de bac S que je fais donc.. Bon c'est de 1998 peut etre que ca a été retiré depuis.

[invited622d663]

Je passe mon bac aussi. Je t'affirme que ce n'est pas au programme.

[inviteacfe1a55]

Ok merci

Bonne chance alors..

Si quelqu'un peut m'éclairer sur la dernière question que j'ai posé..

[invitea250c65c]

Tout à fait ce n'est pas au programme. Il me semble que ca l'était il y a un bout de temps mais c'est sur qu'aujourd'hui ce n'est plus le cas.

Pour les équa diff, voici ce qu'il faut savoir :
-Résoudre y'=ay, y'=ay+b (a et b constantes réelles) et puis trouver la solution qui correspond à une certaine "condition initiale".
-Résoudre les équations de la forme y'+ay=f(x) ou f est une fonction et a une constante réelle : pour cela on commence par trouver une solution particulière et on s'attaque ensuite à l'équation associée sans second membre (on te guidera dans ces exos de toutes facons).

Après on peut te donner des équa diff d'autres formes mais on te guide pour la résolution et au final tu n'as rien à savoir faire de plus que ce que j'ai évoqué ci dessus.

Par contre en physique tu peux en avoir du second ordre (RLC, ressort, ...), mais ce n'est pas au programme de maths, donc on te guide : on te dit en général de vérifier que telle fonction est solution de l'équation (pour ca il y a juste à tout réinjecter dans l'équation et à vérifier que ca marche) puis on admet que toutes les foctions solutions sont de cette forme et puis on te demande de déterminer des coefficients qui interviennent dans la solution en fonction des conditions initiales.

Pour le second ordre, si tu veux comprendre "comment ca marche" (parce que moi dans ma classe y'en a pas mal qui voyaient pas trop pourquoi un cosinus ...), voici une explication "avec les mains" :
On s'interesse seulement aux équations de la forme (ce sont les seules équa diff du second ordre qu'on te demandera de traiter en physique). La solution générale peut s'écrire sous la forme d'une fonction en cosinus : : en effet, quand tu dérives le cosinus, tu tombes sur quelque chose en sinus, et quand tu redérives (y''), tu retombes sur du cosinus, qui peut donc s'annuler avec le cosinus de y à condition de bien choisir certains coefficients. On pourrait aussi tout mettre sous forme d'un sinus (dans certains exos de physique on te la donne plutot sous forme d'un sinus) : , parce que quand tu dérives le sinus deux fois tu retombes sur du sinus qui va donc pouvoir s'annuler avec le sinus de y, mais comme le sinus et le cosinus sont en fait la même fonction à un déphasage de près, ca revient en fait au même, ( ...), juste que le coefficient se transforme en . Et on montre que ces fonctions sont les seules solutions de notre problème.
Maintenant dans le cas général : ay''+by'+cy=0, tu as soit des solutions en exponentielle, soit en polynome de degré 1 fois une exponentielle (comme dans l'équation y''+2y+y=0), soit en sinus et cosinus (comme l'équation ) et tu peux avoir des solutions en cosinus et sinus que multiplie une exponentielle (par exemple, en physique, dans un circuit RLC, quand la résistance est non négligeable, tu n'as pas résolu l'équa diff cette année, mais tu as vu que la tension oscillait toujours mais que l'amplitude des oscillations diminuait au cours du temps : c'est une fonction en cosinus et sinus (les oscillations) que multiplie une exponentielle (qui fait diminuer l'amplitude des oscillations au cours du temps)).
Dans le cas avec second membre, par exemple comme tu l'as cité plus haut, c'est pareil que pour les équa diff du premier ordre avec second membre (solution particulière, résolution de l'équation sans second membre puis somme des solutions).

J'espère que c'était clair et que tu as mieux compris, en tout cas tout ce qui est sur le second ordre n'est absolument pas au programme, je t'en ai juste parlé parce que c'est sympa de voir un peu d'ou ca sort quand on s'en sert en physique mais ne te fais pas de soucis dessus au niveau des maths (ou alors s'il y en a tu peux être sur que tu seras super guidé).

Peux-tu me fournir ton énoncé complet de l'annale de 1998? parce qu'il me semble bien que même en 98 ce n'était plus au programme.

A+

[bubulle_01]

Quelles sont les questions qui te sont posées avant celle ci ?
Je mets ma main à couper que tu as soit oublié quelque chose, soit été trop vite en besogne
(A moins qu'il faille considérer une solution évidente, telle que ... )

[invitea250c65c]

Ca ne serait pas ca par hasard : http://ww3.ac-poitiers.fr/math/anna/...4.htm#PROBLEME (le problème) ?
Ah oui curieux ca semblait être au programme à cette époque, bizzare il me semblait que ca avait été enlevé il y a plus longtemps. Mais en fait à part cette question qu'on ne peut plus faire en TS (cf remarque à la fin de l'exo) le reste est largement faisable donc tu peux t'y attaquer en prenant en compte la remarque faite à la fin de l'exercice.

A+