Bonjour,
voici une méthode classique pour montrer l'irrationalité de √2.
Montrons l’irrationalité de √2.
Par l’absurde, supposons qu’il existe (m, n) appartenant à N*², (m / n)² = 2, et cherchons à une contradiction.
On a m² = 2 n² → m > n, d’où il existe a appartenant à N* tq m = n + a.
Alors m² = 2 n² → (n + a)² = 2n² → n² = a² + 2na → n² > a²
→ n > a, d’où il existe b appartenant à N* tq n = a + b.
Puis n² = a² + 2na → (a + b)² = a² +2a(a + b) → b² = 2a².
On a m² = 2n² et b² = 2p² → (mb)² = 4(na)² → mb = 2na.
Appliquons le théorème de Gauss, sachant que m et n = 1.
m|2na → m|2a → il existe c appartenant à N* tq 2a = cm.
n|mb → n|b → il existe d appartenant à N* tq b = dn.
On a m = n + a et n = a + b → m = 2a + b = cm + dn.
Donc (1-c)m = cn > 0.
Contradiction, car il n’existe aucune valeur c de N* qui vérifie cette équation, donc √2 est irrationnel.