Demontrer l'irrationalité

[invite94bbd163]

on a:
u_n=1+1/1!+1/2!+...+1/n!
v_n=u_n+1/n.n!
u_n et v_n sont adjacentes de limite e et:
n!.u_n < n!e < n!u_n+1/n

il faut que j'en déduise que e est irrationnel et je vois pas du tout comment faire...merci d'avance.
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[invite4ef352d8]

Bonjour

on prodèce comme toujour : par l'absurde ! suppose que e=p/q est rationelle, et applique l'inégalité précedente à un n suffisement grand... par exemple plus grand que q...

[invite4d5c4bf4]

Desolé mais je vois toujours pas comment faire; j'étais parti sur la même idée mais j'arrive pas à trouver...

[invite4ef352d8]

si e etait rationelle, n!e serait entier pour n assez grand... et l'inégalité précedente devrait te choquer sachant que n!Un, et n!e sont des entiers...

[A voir en vidéo sur Futura]