Semi-espace en p

[Bleyblue]

Bonjour,

Si p est un point d'un espace affin réel, et définissant un semi-espace comme un convexe évitant p et maximal (pour l'inclusion) pour cette propriété je cherche à montrer qu'en dimension n quelconque, il existe toujours un semi-espace en p.

Je sais que je dois utliser pour ce faire le lemme de Zorn mais je ne vois malgré tout pas quoi prendre comme ensemble de départ.
J'ai envisagé de prendre E = {P|P convexe éviant p} mais ça ne me semble pas bon réflexion faite.

Auriez-vous une meilleur idée ?

merci
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[invite35452583]

L'axiome du choix ne me semble pas utile.
On peut prendre une base (x₁, ..,x_n) de l'ev associé à l'espace affine.
Et prendre pour C l'union de :
p+Rx₁+...+Rx_n-1 + R⁺*x_n
p+Rx₁+...+Rx_n-2 + R⁺*x_n-1
...
p+Rx₁ + R⁺*x₂
p+R⁺*x₁
Ce n'est pas très difficile de montrer que c'est un convexe pour deux points considérer celui appartenant à la sous-partie qui est le plus haut dans la liste précédente et montrer que tout le segment sauf, éventuellement l'autre point, est dans cette partie.

La maximalité montrer que l'espace affine={p}+ la partie décrite ci-dessus+les symétriques par rapport à p des points précédents.

[invite4ef352d8]

Salut !

certe, mais en dimension infini ca ce complique un petit peu (quoique ca marche encore en fait...) et puis c'est tellement rapide avec Zorn ca serait dommage de s'en priver ^^

BleyBlue :
Ba si E = {P|P convexe éviant p} , marche trés bien, c'est inductif (si ta une suite croissante de convexe évitant p, leur réunion est encore un convexe évitant p...) donc ca a un élement maximal.

[invite35452583]

C'est en effet immédiat. (Je n'avais pas fait attention que la dimension était quelconque )
On peut aussi le montrer ainsi :
soit X la famille des semi-droites ouvertes issues de p.
X est l'union de paires {d,d'} où d et d' sont de deux demi-droites portées par une même droite.
On prend pour C l'ensemble des points de l'union sur les paires d'un et d'un seul élément de chacune de ces paires.
Plus compliquée mais elle illustre bien le terme "semi-espace", on peut d'ailleurs montrer qu'un semi-espace est toujours de cette forme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ef352d8]

hum non ca marche pas ca, c'est pas forcement convexe ce que tu construit.

[invite35452583]

hum non ca marche pas ca, c'est pas forcement convexe ce que tu construit.

Désolé

[Bleyblue]

oula oui je suis un scheel moi, ça me perturbait que l'ensemble E ne soit pas totalement ordonné mais ça n'est pas nécessaire vu que je dois prendre une suite croissante et montrer qu'elle est majorée par un élément de E.

Je n'ai pas l'habitude je n'utilise pas souvent ce lemme dans les démonstrations ...

merci bien à vous deux !