Intégrale pour ln(x√2)

[invite8da3fada]

Bonjour tout le monde,

Je me suis inscris au cned et dans le cadre d'une mise à niveau en maths j'ai un devoir qui me pose problème.

En effet je dois calculer ∫Ln(x√2) entre √2 et 1. On m'indique d'utiliser une intégration par partie mais c'est là que je bloque.

Je pense avoir compris la méthode de l'intégration par partie avec la pose de u' et v mais je n'arrive pas à poser ces 2 termes.

je sais que Ln(x√2) peut être décomposé en lnx + ln√2 mais ce n'est pas ça.

j'essaie de modifier l'intitulé en ln(x1/2ln2) mais de là je n'arrive pas à sortir u' et v.

Merci de me mettre sur le bon chemin car ça fait depuis hier soir que je planche dessus sans la moindre avancée.
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[invite1237a629]

Bonjour,

Dans ce genre de cas, lorsqu'on te dit de faire une intégration par parties mais qu'il n'y a qu'un seul terme, on écrit ln(x rac(2)) = ln(x rac(2))*1

Et le 1 correspond à u'

[Gwyddon]

Bonjour,

La technique dans cet exercice est à retenir car assez classique, afin de trouver des primitives.

L'idée est de trouver une primitive de ln(x) (puisque comme vous l'avez écrit, et la partie constante en racine de 2 ne nous embête pas).

On vous suggère une intégration par partie, or vous n'avez manifestement qu'une seule fonction sous la main, à savoir le logarithme... dont vous ne connaissez pas a priori une primitive !

On procède donc par étape. Si on veut faire une intégration par parties il faut identifier un u et un v' ; le u est tout trouvé, c'est le logarithme (puisque on ne connais pas sa primitive...), et par quoi est multiplié ln(x) pour donner ln(x), et qui pourrait être un v' ?

[invite8da3fada]

ça parait tellement évident de multiplier par 1 que je n'y ai même pas pensé.
Cependant si je pose
v(x)= ln(x√2) u'(x)=1 , j'ai u(x)=x et v'(x)= ???

est-ce qu'on peut dire que v'(x) = ln(u'/u) avec v'(x)=ln (1/2√2)/(x√2)

ça me parait complexe et je me demande s'il n'y aurait pas moyen de simplifier v'(x) en x/2 en faisant (1/2√2)X(x√2)

Merci du coup de main

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1237a629]

Ah oui, la solution de Gwyddon pour simplifier le logarithme est beaucoup plus simple.

Tu as l'intégrale de ln(x) et l'intégrale de ln(racine 2).
Et il suffit de faire l'intégration par parties de ln(x).



Intégration par parties.


Pour revenir à la méthode bourrine () :

est-ce qu'on peut dire que v'(x) = ln(u'/u)

Non, v(x) = ln(ax) avec a = racine 2
Tu te trouves devant une composée de fonctions :
v(x) = fog(x)
g(x) = ax
f(z) = ln(z)

Donc v'(x) = g'(x)*f 'og(x)
g'(x) = ?
f 'og(x) = ?

(oui, certes, il y a des étapes inutiles, mais quand on veut expliquer, autant le faire en entier ^^)



Tout est là normalement.
De là à être clair...excuse-moi si ce n'est pas le cas

[Gwyddon]

v(x)= ln(x√2) u'(x)=1 , j'ai u(x)=x et v'(x)= ???

C'est quoi la dérivée du ln ?

[invite8da3fada]

C'est quoi la dérivée du ln ?

et bien c'est 1/x, non ?

Je vais voir ça un peu plus tard car je dois m'absenter là.

Merci encore

[invite8da3fada]

Ah oui, la solution de Gwyddon pour simplifier le logarithme est beaucoup plus simple.

Tu as l'intégrale de ln(x) et l'intégrale de ln(racine 2).
Et il suffit de faire l'intégration par parties de ln(x).



Intégration par parties.


Pour revenir à la méthode bourrine () :



Non, v(x) = ln(ax) avec a = racine 2
Tu te trouves devant une composée de fonctions :
v(x) = fog(x)
g(x) = ax
f(z) = ln(z)

Donc v'(x) = g'(x)*f 'og(x)
g'(x) = ?
f 'og(x) = ?

(oui, certes, il y a des étapes inutiles, mais quand on veut expliquer, autant le faire en entier ^^)



Tout est là normalement.
De là à être clair...excuse-moi si ce n'est pas le cas

Tu dois certainement être clair mais dans les cours que j'ai on a fait que survoler cette possibilité et j'y comprends rien.

quelle est la différence entre fog et gof ?
Dans mon cas qui est f ? qui est g ? Pourquoi faut il calculer plus l'un que l'autre ?
Je sais juste qu'il me faut calculer v'(x) mais je n'arrive pas à faire la relation avec ln(x√2)

[invite1237a629]

fog(x) signifie que de x, tu fais g(x), puis tu fais f(g(x))

Exemple : si g(x) = ax et f(x) = ln(x), alors :
x -> ax -> ln(ax) = fog(x)

Désolée, mais je vais semi-donner la réponse...

a = racine de(2) (c'est lourd en tex :/)
La dérivée de ax est a
La dérivée de ln(x) est 1/x

D'après la formule, on a donc que (ln(ax))' = a*1/(ax)

Ca, c'est au début, pour bien expliquer, mais plus tard, ça deviendra "automatique" : quand on a ln(u), la dérivée est : u'/u

[invite8da3fada]

Mimoimolette, je comprends mieux maintenant. Si on m'avait dit que l'on gardait le principe de (lnu)' = u'/u peut être aurai-je trouvé...

Donc là on a v'(x)= √2/x√2

Merci encore de ton aide encore

Pour conclure, je trouve en réponse à ma question d'origine, à savoir ∫Ln(x√2) entre √2 et 1 le résultat de ln√2.

[Gwyddon]

Hello,

Je ne suis pas sûr de bien comprendre, vous trouvez quoi comme résultat ?

[invite8da3fada]

Hello,

Je ne suis pas sûr de bien comprendre, vous trouvez quoi comme résultat ?

je trouve ln√2. Pourquoi ce n'est pas bon ?

[Gwyddon]

Bonjour,

Le résultat en effet n'est pas correct. Pourriez-vous détailler vos étapes ?

[invite8da3fada]

Bonjour,

Le résultat en effet n'est pas correct. Pourriez-vous détailler vos étapes ?

Oui, je pose u'(x)=1 et v(x)=ln(x√2)
j'en déduis u(x)=x et v'(x)=√2/x√2

[(x)(lnx√2)] entre √2 et 1 - [(x)(√2/x√2)] entre √2 et 1
Après calcul je trouve donc ln√2 mais peut être ai je fait une erreur

[invite1237a629]

Oui, je pose u'(x)=1 et v(x)=ln(x√2)
j'en déduis u(x)=x et v'(x)=√2/x√2

[(x)(lnx√2)] entre √2 et 1 - [(x)(√2/x√2)] entre √2 et 1
Après calcul je trouve donc ln√2 mais peut être ai je fait une erreur

Tu peux simplifier :

[Gwyddon]

On peut déjà simplifier v'(x) en v'(x) = 1/x puisque la racine de 2 est au dénominateur et au numérateur - et je pense en effet que c'est une erreur de calcul

EDIT : moletté

[invite8da3fada]

ah oui c'est exact, je refais la calcul et je reviens vous donner ma réponse

[invite8da3fada]

je pense que mon erreur vient du calcul de [(x)(lnx√2)] entre √2 et 1 car l'autre partie fait 1.

je fais [(√2)(ln√2x√2) - (1)(ln1√2)]
je trouve ln2√2-ln1√2 et je pense que c'est là que ça ne va pas...

[invite1237a629]

je fais [(√2)(ln√2x√2) - (1)(ln1√2)]
je trouve ln2√2-ln1√2 et je pense que c'est là que ça ne va pas...

Je n'ai pas vraiment compris tes écritures dans la deuxième formule...

le 1√2 se simplifie naturellement en √2
Ensuite, √2x√2 = (√2)² = 2
ln2√2 si c'est la même chose que l√2*ln(2), ok, c'est bon

[invite8da3fada]

Je n'ai pas vraiment compris tes écritures dans la deuxième formule...

le 1√2 se simplifie naturellement en √2
Ensuite, √2x√2 = (√2)² = 2
ln2√2 si c'est la même chose que l√2*ln(2), ok, c'est bon

dans la deuxième formule j'ai juste remplacé x par 1, c'est pour être sur de ne pas me tromper.
Après j'ai mis ln2√2 - ln√2 mais est-ce que ln2√2 est la même chose que √2ln2 car sinon mon erreur est là.
Dans ce cas, ça donnerait √2ln2-ln√2 et est-ce que ça se simplifie ou le laisse t on comme ça

[invite1237a629]

Regarde en x = √2 la valeur de x ln(x*√2)

ça fait bien √2 ln (√2 * √2)
càd √2 ln(2)

Ce n'est pas la même chose que ln(2√2) (il faudrait mettre de parenthèses parce que ce n'est pas très clair :/)

[invite8da3fada]

oui alors ça donne √2ln2 - ln√2

[Gwyddon]

oui alors ça donne √2ln2 - ln√2

C'est ton résultat final pour toute l'intégrale ?

[invite8da3fada]

C'est ton résultat final pour toute l'intégrale ?

oui. ça c'est le résultat de u(x) v(x) et comme u(x) v'(x) à savoir [(x)(1/x)] entre √2 et 1 donne 0 car (√2 X 1/√2) - (1 X 1/1)

Ne me dis pas que je me suis trompé....

[Gwyddon]

En effet vous vous êtes trompés car l'intégration par parties requiert l'intégration de u(x)v'(x), et intégrer 1 ne donne pas un résultat nul

La formule d'intégration par parties est

où