qqmini questions de type olympiade

[invite60c8bee3]

1) p(x)=(x-2)^2n + (x-1)^n - 1

ce polynome est il div par x²-3x+2

(je vois pas comment me servir de la def p(x) est div par (x-a) si p(a) vaut 0


2) La somme des trois chiffres d'un nbre est 17. La difference entre ce nombre et celui qu'on obtient en lisant de droite a gauche est 495 . En ajoutant le chiffre des dizaines au double du chiffre des centaines on trouve 22. Quel est ce nombre (ou ces nombres)?


et encore un petit probleme qui me bloque car j'hesite :

|2x-1|-|x-3| < 1

je fais un tableau de signe , (avec 2racines 1/2 et 3)
et apres je dois etudier cas par cas le signe pour par ex

si x < 1/2

et la, le signe est - pour les 2lignes du tableau . donc j'enleve les valeurs absolues et change le signe.
mais pour le |x-3| je ne vois pas cmt changer , je dois mettre le signe contraire dans les valeurs absolues, puis les enlever ou alors changer le signe devant les val.abs et les enlever par la suite ?
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[invitea3eb043e]

Question 1 : Si le polynôme est divisible par (x² - 3x +2) c'est qu'il s'écrit :
(x² - 3 x + 2) * Q(x) où Q(x) est un polynôme. On voit alors que nécessairement p(1) = 0 et p(2) = 0

Question 2, un peu piégeuse : as-tu essayé d'écrire le nombre sous la forme cdu. Que deviennent les indications qu'on te donne ? Qu'en déduis-tu sur c, d et u ? Il y a un piège.

Question 3 : s'armer de patience et faire un tableau :
De -infini à 1/2, |2x-1| = 1-2x, ensuite ça vaut 2x-1
De -infini à 3, |x-3| vaut 3-x, etc..
Alors tu fais la différence entre -infini et 1/2, puis de 1/2 à 3, puis de 3 à infini et tu regardes l'inégalité.
Tu peux programmer le truc sur Excel et regarder.

[jacovador]

Question 1 : Si le polynôme est divisible par (x² - 3x +2) c'est qu'il s'écrit :
(x² - 3 x + 2) * Q(x) où Q(x) est un polynôme. On voit alors que nécessairement p(1) = 0 et p(2) = 0

Question 2, un peu piégeuse : as-tu essayé d'écrire le nombre sous la forme cdu. Que deviennent les indications qu'on te donne ? Qu'en déduis-tu sur c, d et u ? Il y a un piège.

Question 3 : s'armer de patience et faire un tableau :
De -infini à 1/2, |2x-1| = 1-2x, ensuite ça vaut 2x-1
De -infini à 3, |x-3| vaut 3-x, etc..
Alors tu fais la différence entre -infini et 1/2, puis de 1/2 à 3, puis de 3 à infini et tu regardes l'inégalité.
Tu peux programmer le truc sur Excel et regarder.

Très bonnes suggestions. Mais je sèche sur la question 2 : pourquoi nous donner l'information avec 495 puisqu'elle se déduit des 2 autres ? Comment résoudre 3 inconnues avec 2 équations ?

[jacovador]

Ou alors "lire de droite à gauche" veut dire "lire dans un miroir" : 2 <-> 5 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacovador]

S'il faut lire dans un miroir, ça devient compliqué pour moi.
J'en reste plutôt à 3 nombres solutions et des données sur-abondantes.

[invitea3eb043e]

Rien n'est en trop.
Le nombre s'écrit c d u par exemple 5 2 8
La somme des chiffres c + d + u = 17
Le nombre miroir s'écrit u d c comme le nombre miroir de 5 2 8 serait 8 2 5
Le nombre c d u vaut 100 c + 10 d + U tandis que le nombre miroir u d c vaut 100u + 10 d + c tout comme 5 2 8 = 5.100 + 2.10 + 8
La différence (100 c + 10 d + u) - (100 u + 10 d + c) = 495 d'où c-u = 5
Enfin d + 2 c = 22

Ca fait 3 équations à 3 inconnues, juste ce qu'il faut a priori :
c + d + u = 17
c - u = 5
d + 2 c = 22
Et là on tombe sur un bec car la 3ème équation est la somme des 2 premières.
Il y a donc indétermination qu'il faut contourner.
On essaie u = 0 donc c = 5 et d = 12, ça ne va pas
etc.. u = 1 donc c = 6 et d = 10 ça ne va pas
Et on continue, ça donne toutes les solutions.

[jacovador]

Merci Jeanpaul,

C'est effectivement ce vers quoi j'ai convergé et vos explications sont très claires.

[invite60c8bee3]

oui voilà merci pour votre aide , et désolée de ne pas avoir répondu plus tôt . Pour le 1 et et le 3 j'ai finalement réussi à les résoudre , mais pour le 2 j'ai eu du mal .. mais une fois le systeme d'equations bien ecrit , ca va tout seul .
Merci