Théorème du produit de deux fonctions dérivables ...

[invite5c8c83df]

Bonsoir,
je n'arrive pas bien à saisir la manière dont on développe le produit de deux fonctions dérivables ...

par exemple, si on prend :

f(x) = f(x0) + f '(x0)(x-x0) + (x-x0)E1(x) avec lim E1(x) = 0 quand x tend vers x0

et

g(x) = g(x0) + g '(x0)(x-x0) + (x-x0)E2(x) avec lim E2(x) = 0 quand x tend vers x0

il faut effectuer le produit f(x) x g(x)

le prof à indiqué qu'il faut arrivé a "fg est dérivable car A=f '(x0)g(x0)+ f(x0)g '(x0) " je suppose que A est la dérivée du produit de f et g ...



JE SUIS PERDU PLEASE HELP ME !!!
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[invite5c8c83df]

je vous en prie aidez moi ! je ne sais meme pas a quoi correspond le E1(x) (epsilon) ... je suis dans une merde grave

[invite0022ecae]

E1 est une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers x0
La démonstration n'est pas facile:
Il faut que tu te tapes le développement de f(x)g(x) en utilisant les définitions données (avec E1(x) etc...)
A partir de là, il faut ranger:

f(x)g(x)=f(xo)g(xo)+ A(x-xo) + f'(xo)g'(xo)(x-xo)² + plusieurs termes ou figurent E1 ou E2 ou E1E2
( A c'est le nombre dont tu parles dans ta question)

Tu appelles E3(x)=f'(xo)g'(xo)(x-xo)² + plusieurs termes ou figurent E1 ou E2 ou E1E2

On a lim E3(x)=0 quand x tend vers xo car lim E1=0, lim E2=0 et
limf'(xo)g'(xo)(x-xo)²=0 toujours quant x tend vers xo

tu obtiens
f(x)g(x)=f(xo)g(xo)+ A(x-xo) + E3(x)
donc fg est dérivable et (fg)'=f'g + fg'

[invite5c8c83df]

Merci beaucoup afolab, je viens de re-bosser dessus, ca a lair plutot bon, je soumet à mon prof demain. Merci beaucoup

[A voir en vidéo sur Futura]