Recherche des fonctions f dérivables telles que f(x+y)=f(x)*f(y)

[invite776a26e4]

bonjour, pourriez-vous m'aider svp?

La fonction exponentielle est une fonction qui transforme les sommes en produits : pour tous réels x et y, exp(x+y)=(expx)*(expy). Le but de ce TD est de rechercher toutes les fonctions dérivables sur R qui ont cette propriété.
Dans la suite, f est une fonction dérivable sur R telle que pour tous réels x et y : f(x+y)=f(x)*f(y) [1]

1) Démontrez que s'il existe un réel x0 tel que f(x0)=0, alors f est la fonction nulle (On pourra calculer, pour tout réel x, f(x0+x).)

Dans la suite, on suppose f solution de [1] et distincte de la fonction nulle.

2)a/ En prenant y=0, démontrez que f(0)=1.

b/ En prenant x=y=(X/2), démontrez que pour tout réel X, f(X)>0.

3) Supposons x fixé et considérons la fonction g définie sur R par :
g(y)=f(x+y)=f(x)*f(y).

a/ Démontrez que g est dérivable sur R et que pour tout réel y, g'(y)=f '(x+y)=f(x)*f '(y).

b/ Cette égalité est aussi vraie pour tout réel x.
Déduisez-en que pour tout réel x, f '(x)=f '(0)*f(x)=af(x) avec a=f '(0).

c/Ainsi f est la solution de l'équation différentielle y'=ay telle que f(0)=1.
Déduisez-en que f(x)=e puissance ax.

4) Réciproquement , a est un réel, f est la fonction dérivable sur R, définie par f(x)=e puissance ax.
Démontrez que pour tous réels x et y, f(x+y)=f(x)*f(y).

Merci d'avance pour votre aide.
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[invite980a875f]

Salut,
dis-nous où tu as des problèmes, parce que je ne vois pas trop de difficultés, surtout sur les premières questions. Par exemple:
1) f(x0)=0
f(x0+x)=f(x0)*f(x)
f(x0+x)=0*f(x)
f(x0+x)=0
2)a) y=0
f(x+y)=f(x)*f(y)
f(x)=f(x)*f(0)
f(0)=1

Bon, essaie de faire les questions suivantes avec des raisonnements similaires.

[invite776a26e4]

En fait, c'est surtout après que j'ai du mal (les démonstrations, c'est pas trop mon truc!!).

Pour la question 2b j'obtiens à la fin f(X)=2f(X/2) mais je n'arrives pas a montrer que f(X)>0. Et les autres questions, je suis complètement larguée!!

[invite980a875f]

Salut,
alors, juste en passant pour la 2)b):
x=y=(X/2)
f(X/2+X/2)=f(X/2)*f(X/2)
f(X)=[f(X/2)]^2
Un carré est toujours positif, donc f(X)>0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite776a26e4]

Merci en fait moi j'avais fait (X/2)*(X/2)=2(X/2)!!
Et pour le reste est-ce que je peux avoir une ptite aide svp?? Merci

[invitea8961440]

Une solution evidente sont les fonctions de la forme x->m^x ,ton equation en est d'ailleurs une propriété caractéristique.Par ailleurs pour la résoudre,pose g(x)=lnf(x),on obtient g(x+y)=g(x)+g(y) cette equation fonctionnelle se resout dans /N,ou tu montrera que pour tout n entier naturel,g(n)=ng(1) par reccurence sur n,ensuite tu montrera cette propriété dans Z,g(-n)=ng(-1) tu essaiera de montrer que g(-1)=-g(1) car g(0)=g(1+(-1))=g(1)+g(-1)=g(o)+g(0)=2*g(0) ce qui donne g(o)=0 et g(-1)=-g(1) ensuite tu montrera que cela est vrai dans Q en considerant tout entier rationnel r comme p/q ou p est entier relatif et q entier naturel enfin tu montrera cela dans R-Q en considérant tout entier irrationnel comme limite d'une suite d'entier rationnel Un et que ta fonction Q est continue sur R. Finallement ,tu conclut que sur R ,g(x)=x*g(1)=log( a)( f(x)),donc lnf(x)/lna=x*g(1) soit lnf(x)=x*lna *g(1) soit f(x) =a^(x*g(1)) soit f(x) =m^x (avec m=a^g(1)),je t'ai beaucoup aidé ,pour plus de precision voit Dunod livre,j'integre ,prepa,pcsi,mpsi, chapitre continuité ,exercice d'application 1 à 6.

[invite4793db90]

[...]
Par ailleurs pour la résoudre,pose g(x)=lnf(x)...
[...]

Attention: tu supposes que f est strictement positive, ce qui n'est pas précisée a priori dans l'énoncé: il faudrait le démontrer avant!

[invitea8961440]

Merci ,mais pour palier à ce manque ,on resout l'équation fonctionnelle sur les deux ensembles I sur lequel f est positive et J sur lequel f est negative ,par ailleurs la fonction nulle est solution et on reunit f sur R en montrant que f s'ecrit x donne m^x sur I et x donne n^x sur J avec finallement m=n ,donc la solution est x donne m^x,notons que la cntinuité de f suffit à résoudre cette équation fonctinnelle

[invitea8961440]

Il se trouve que f verifie f(2*x) =(f(x))^2 donc f est povitive et strictement si f n'est pas la fonction nulle car en plus si f(a)=0 alors f(a+y)=0 pour tout y soit f(y)=0 donc
si s'annule en un point ,elle est identiquement nulle sur R,donc ,si f n'est pas la fonction nulle ,elle ne s'annule en aucun point de R;

[invitea8961440]

je t'ai resolu ton exo dans le cas general ou on sait seulement que f est continue,mais si la derivabilité est assuré ,alors f(x+y)=f(x)*f(y),derivons cette expression par rapport à x (on considere y comme constant par rapport à y),on a f'(x+y)=f(y)*f'(x)
En x=0,cela donne f'(y)=f'(0)*f(y), f satisfait donc à l'equation differentielle f'=f'(0)*f
ainsi f est la fonction y->exp(y*f'(0)) soit y->exp(a*y) ou a=f'(0)

[invitea8961440]

Remark: y est constant par rapport à x.

[invitec0a07aa0]

Bonjour, je suis en terminal S et j'ai le même sujet en DM. J'ai déjà tout fait mais je bloque a la question 4.
Voila mon DM pourriez-vous me dire ce que vous penser de la rédaction? Merci.

1. S'il existe un réel x0 tel que f(x0)=0. Alors pour tout rél x :
f(x0+x)=f(x0)*f(x)
<=> f(0+x)= 0*f(x)
<=> f(x)=0
On a donc f une fonction nulle.
2. a) y=0
f(x+y)=f(x)*f(y)
<=> f(x+0)= f(x)*f(0)
<=> f(x)= f(x)*f(0)
<=> f(O)= [f(x)]/[f(x)]
<=> f(0)=1
b) x=y=X/2
f(X/2 + X/2)= f(X/2)*f(X/2)
<=> f(X/2 + X/2)= [f(X/2)]²
[f(X/2)]² est toujours positif donc f(X) >0
3. a) g(y)=f(x)*f(y).
Donc g est dérivable sur R car c'est un produit de fonction dérivable.
De plus on sais que x est fixé donc lorsqu'on le dérive il reste inchangé.
On a donc : g'(y)=f(x)*f'(y).
b) Cette égalité est vraie pour tout réel x, donc f'(x)=f(x)*f'(y)
On pose y=0 : f'(x)=f(x)*f'(0)
<=> f'(x)= af(x) avec a =f'(0)
c) L'équa diff y'=ay à pour solution toutes les fonctions du type
fk(x)=ke^(ax)
On cherche k pour f(0)=1 :
ke^(a*0)=1
<=> ke^0=1
<=> k*1=1
<=> k=1
Donc f(x)=e^(ax)
4. Je ne sais pas par ou commencer.