Fonctions TS ; recherche d'une racine

[invite2d8f02e5]

Bonjour à tous,

Je suis en train de (m'énerver) m'entraîner sur un exercice sur les fonctions :

Voici l'énoncé :

P(x)=2/5*x⁵+x³/3+2x-1

Il faut démontrer que ce polynôme admet une unique racine réelle, puis une fois localisée dans un intervalle constitué de deux entiers consécutifs, en donner une approximation à l'aide de la calculatrice à 10^-3 près.

Je ne sais pas vraiment comment commencer ( j'ai calculer les limites en +/- infini et j'ai calculé la dérivée, mais cette fonction est strictement croissante sur -infini/+infini donc ça ne nous sert pas à grand chose ).

J'espère que quelqu'un pourra m'aider ( en expliquant la méthode et non pas en donnant simplement le résultat ).

Merci d'avance
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[invite4f9b784f]

Tu l'as dis toi meme; cette fonction est strictement croissante sur R, donc trouve une valeur négative et une autre positive de f et en utilisant le lemme de rolle (Théorème des valeurs intérmédiaires) tu deverais t'en sortir

[invite2d8f02e5]

Merci, mais je ne comprends pas vraiment comment le faire, comment choisir les deux valeurs et ensuite comment se servir du thérorème d'encadrement ? (C'est le théorème de comparaison ou le théorème des gendarmes, car je n'ai pas ce terme).

[invite4f9b784f]

Merci, mais je ne comprends pas vraiment comment le faire, comment choisir les deux valeurs et ensuite comment se servir du thérorème d'encadrement ? (C'est le théorème de comparaison ou le théorème des gendarmes, car je n'ai pas ce terme).

Vous n'avez pas vu que si f est continue sur R et (a,b) appartiennent à R tel que f(a).f(b) < 0 alors il existe un c appartenant à ]a,b[ tel que f(c) = 0 ? et que si f est strictement monotone alors ce c est unique ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2d8f02e5]

Ah oui, c'est donc également le théorème de la bijection ?
Je vais voir si je trouve comment faire en utilisant ce théorème.

[invite4f9b784f]

Ah oui, c'est donc également le théorème de la bijection ?
Je vais voir si je trouve comment faire en utilisant ce théorème.

A vrai dire je ne connais pas le programme Français et comment vous l'appelez mais je sais que c'est le théorème de Rolle.

Petit indice, choisis a=0 et b=1

[invite2d8f02e5]

Oui, grâce à la calculatrice j'ai trouvé que ce nombre se situe entre 0 et 1, mais comment choisir ces valeurs ? ( il faut se servir de la calculatrice ? ).
Et une fois qu'on a ces valeurs, comment continuer ? ( j'ai compris comment démontrer qu'il existe une unique solution mais pour la trouver ... ).

[invite2d8f02e5]

Je crois avoir trouvé :

f(0)=-1 et f(1)=2/5+1/3+2-1=26/15

Comme f(0) et f(1) sont de signe contraire, la racine se trouve donc bien entre 0 et 1.

Avec la calculatrice on peut dire que la racine se trouve entre 0.476 et 0.477, la valeur approchée de la racine à 10^-3 près est de 0.476.

Est-ce correct ?

[invite4f9b784f]

Je crois avoir trouvé :

f(0)=-1 et f(1)=2/5+1/3+2-1=26/15

Comme f(0) et f(1) sont de signe contraire, la racine se trouve donc bien entre 0 et 1.

Avec la calculatrice on peut dire que la racine se trouve entre 0.476 et 0.477, la valeur approchée de la racine à 10^-3 près est de 0.476.

Est-ce correct ?

Oui Mais il y a une méthode plus "mathématique" de le faire, et ce en utilisant la dicothomie, je m'explique :

Tu as trouvé que la racine X se trouvait entre 0 et 1, donc tu regarde le signe de f((0+1)/2) soit f(1/2), et tu regarde lequel de f(0) ou f(1) a un signe contraire à f(1/2), dans ce cas f(0) donc la racine X se trouve entre 0 et 1/2 et tu répéte le procédé jusqu'à t'approcher à 10^-3 près de la solution réelle

[invitec053041c]

A vrai dire je ne connais pas le programme Français et comment vous l'appelez mais je sais que c'est le théorème de Rolle.

Petit indice, choisis a=0 et b=1

Le théorème de Rolle traîte de la dérivabilité. Bien que son énoncé soit proche de celui que vous énoncez, il n'a pas de raport avec l'exercice.
Sinon, le nom que nous utilisons pour le théorème que vous avez énoncé est "théorème des valeurs intermédiaires" .

Cordialement.

[invite2d8f02e5]

Merci de vos réponses, j'ai bien compris la méthode maintenant.
On a eu une interro hier, il y avait un exercice de ce type et je pense l'avoir réussi.

Là où je pourrai perdre des points je pense que c'est seulement à cause de la présentation ou les explications.
Pour justifier l'existence d'une seule valeur, j'ai dis :
-Comme la courbe est croissante sur par exemple ]-inf;-2], le point le plus grand ("haut") est -4.
-La courbe est décroissante sur [-2;3], la valeur la plus grande est -4.
-La courbe est croissante sur [3;+inf[, la plus petite valeur est -4, donc il existe bien une unique solution à f(x)=0.

Vous pensez que c'est correct comme justification ?

[invite4f9b784f]

Le théorème de Rolle traîte de la dérivabilité. Bien que son énoncé soit proche de celui que vous énoncez, il n'a pas de raport avec l'exercice.
Sinon, le nom que nous utilisons pour le théorème que vous avez énoncé est "théorème des valeurs intermédiaires" .

Cordialement.

Oh ! Désolé, oui ça n'a rien à avoir Encore désolé, c'est le Théorème des valeurs intermédiaires. Merci Ledescat