Cardinal de R

[invite61d256ed]

Bonjour,

j'ai découvert il y a peu la notion des alephs pour comparer le nombre d'éléments d'ensembles infinis. J'ai vu notamment que card(R)= 2^N0 et j'ai l'intuition que c'est aussi égal à 3^N0, 4^N0etc... bref que ça marche pour tout entier n. Mais je n'ai trouvé aucune mention de ceci sur le net et vu que je suis pas sûr des "preuves" que j'ai faites là dessus j'aimerais qu'on me dise si mon idée est vraie ou non.
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[invited7e4cd6b]

Ton titre m'a tout de suite attiré, car je n'ai jamais vu quelque chose pareil ..
mais je serai ravi de voir ta demonstration ,
Je sais que Card R = 2^Aleph0 avec Aleph 0 est le card de N mais ceci n'a aucune signification du point de vue mathematiques en terme de profondeur et d'utilité

[invitec7c23c92]

Bonsoir,

J'ai vu notamment que card(R)= 2^N0 et j'ai l'intuition que c'est aussi égal à 3^N0, 4^N0etc... bref que ça marche pour tout entier n. Mais je n'ai trouvé aucune mention de ceci sur le net et vu que je suis pas sûr des "preuves" que j'ai faites là dessus j'aimerais qu'on me dise si mon idée est vraie ou non.

Oui, 2^aleph0 est aussi égal à 3^aleph0, 4^aleph0... et même aleph0^aleph0.

[invited7e4cd6b]

Je ne trouve aucune demonstration, si c'est 2 ^{aleph 0} et meme aleph 0^{aleph 0}

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite61d256ed]

En fait, pour me convaincre déjà que card R=2^aleph0 j'ai pris l'intervalle [0,1] (puisque tous les intervalles de R ont autant d'éléments que R) et j'ai fait une sorte de dichotomie. Au centre on a
1/2, ca nous fait déjà un élément de l'intervalle. Puis on "découpe" les deux morceaux [0,1/2[ et ]1/2,1] en deux parts égales pour trouver les éléments 1/4 et 1/8, ce qui nous fait deux autres éléments. Au découpage suivant, on aura 4 nouveaux réels, puis 8etc... Notamment
au 3ème découpage on a trouvé 2^4+2^3+2^2+2+1 éléments, ce qui fait en factorisant 2^4(1+1/2+1/4+1/8+1/16). La série des 1+1/2+... converge vers 2 donc en faisant une infinité de découpages (infinité dénombrable car faits successivement) on aura du 2^aleph0 éléments.
Après je me suis demandé ce que donnait ce genre de raisonnement avec des découpages en 3, en 4... mais là c'est plus aussi simple.

Sinon j'ai aussi un eu l'idée d'utiliser l'isomorphisme entre les réels appartenant à [0,1[ et l'ensemble (A) des suites à valeurs dans <1,9> qui ne sont pas stationnaires en 9. Sachant que les suites à valeurs dans <1,8> sont contenues dans A, et que leur cardinal peut être vu en terme d'infinis comme 8^aleph0, alors le cardinal de A est au moins d'ordre 8^aleph0, donc celui de R aussi, et c'est 2^aleph0
Et comme 8^aleph0 est au moins d'ordre 2^aleph0(ca parait évident) ,ce sont des infinis identiques.

C'est pour ca que je pense que le naturel n mis en indice n'a pas d'influence sur la valeur de n^aleph0.

[Médiat]

Bonjour,

Puis on "découpe" les deux morceaux [0,1/2[ et ]1/2,1] en deux parts égales pour trouver les éléments 1/4 et 1/8, ce qui nous fait deux autres éléments

C'est plutôt 1/4 et 3/4.

La série des 1+1/2+... converge vers 2 donc en faisant une infinité de découpages (infinité dénombrable car faits successivement) on aura du 2^aleph0 éléments.

Je ne vois aucune justification à ce "donc" que j'ai mis en gras (en comptant le 0, vous obtenez tout simplement qu'au découpage n, vous avez défini nombres).

J'ai l'impression que vous manipuler les , comme des "nombres" usuels, y compris dans le calcul de limites, c'est une erreur. Pour parler de cardinal, il faut parler de bijection.

D'autant plus que vos découpages permettent de définir les nombres de la forme c'est dire quelques rationnels, donc le cardinal de cet ensemble est .

[invite61d256ed]

Ah oui en effet mon découpage ne cible que des rationnels, y'a un problème dans mon raisonnement. C'est sûr, j'ai pas trop de technique sur la manipulation de ces cardinaux, j'ai juste lu quelques lignes sur le sujet sur internet.
Quelle est la manière intuitive de se représenter la quantité 2^aleph0?

[Médiat]

Bonsoir,

est le cardinal de l'ensemble des parties de .

Je n'en dis pas plus pour ne pas vous inquiéter, mais, cette notion "d'ensemble des parties" n'est pas aussi simple qu'on pourrait le croire, si on se pose cette question dans le cadre de la théorie axiomatique des ensembles (qui est le meilleur cadre pour ce genre de question).