Nombres de mersenne

[invitea6e1823f]

Bonjour,
j'ai reçu mon premier dm de spé maths et j'ai quelques difficultés à répondre à certaines questions n'étant pas habituer à demontrer.
Je vais vous montrer l'énoncé et je vous donnerai les pistes que j'ai trouvé avec plus de 3heures de recherche en vain car je n'ai toujours pas la solution.

Question préliminaire: x et y étant des réels quelconques et n un entier naturel non nul quelconque, vérifier l'égalité x^n -y^n= (x-y)(somme de k=0 à n-1 x^(n-1-k) y^k) (on distinguera 2cas n=1 et n>2)

1. a et b des entiers naturels non nuls quelconques, montrer à l'aide la question précédente que 2^(ab) -1 est divisible par 2^a -1.
2. n un entier naturel, demontrer que si 2^n -1 est premier alors n est premier;.
3.Si n est premier, 2^n -1 est t-il nécessairement premier?

Voilà les réponses que j'ai trouvé.

Question préliminaire:

dans le cas où n=1
x^n - y^n= k(a-b) avec k dans Z
x^n= y^n +k(x-y)
x^(n+1)-y^(n+1)= x(y^n+k(x-y))-y^(n+1)
y^n *(x-y) +xk(x-y)
(x-y)(y^n + kx)

y^n-1 + ka étant un entier x^n -y^n est un multiple de (x-y)
Donc l'égalité (1) est démontrée.

dans le cas où n>2

x^n - y^n = (x-y)(x^n-1 + x$n-2 + xy^n-2 + y^n-1)
or (x^n-1 + x$n-2 + xy^n-2 + y^n-1) c'est la somme de k=0 à n-1
donc l'égalité (1) est démontrée.

1. 2^(ab) -1= (2^a)^b -1

x^(ab)-1 = (x-1)*(x^b(a-1) + x^b(a-2).....+ x^a +1)
x^a -1=(x-1)*(x^a-1 + x^a-2+...1)
Cela peut se simplifier mais je ne sais pas quelle notation utilisée.

2. je n'ai pas d'explication précise je vois un peu comment m'y prendre mais le démontrer

3.Ici je crois que la réciproque est fausse
Exemple: n=11 2^11 -1=2047 n'est pas premier

Voilà je vous remercie d'avance pour le temps que vous consacrez à m'aider.
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[invite0022ecae]

si n=1, il n'y a rien à démontrer puisque x^n - y^n =x-y
et (somme.....)=x-y en effet:
si n=1 n-1=0 et somme de k=0 à k=0 devient x⁰y⁰=1

si n>=2, si tu n'es pas très à l'aise avec somme.... tu écris ce que çà veut dire
(somme.....)=(x^n-1 + x^n-2y + ....xy^n-2+y^n-1)
Tu développes (x-y)(x^n-1 + x^n-2y + ....xy^n-2+y^n-1) et tu t'aperçois que des termes s'éliminent deux à deux sauf le premier et le dernier qui sont xⁿ -yⁿ ce qui achève la démonstration

pour 3) OK et je n'ai pas encore chercher le reste...

[invitec317278e]

J'ai posté une solution tout à l'heure dans le sujet sur les exos de spé, en post-it...

[invitea6e1823f]

Merci tout d'avoir à tout les deux pour avoir répondu à mes questions.J'avais regardé ce que tu avais fait Thorin dans la spé maths avant de poster sur la méthode de Fermat et je savais qu'il fallait utiliser une suite géométrique mais je ne savais pas comment le noter merci .

Juste comme réponse à la 1. est-ce que ca va si je dis que je simplifie avec
la formule que tu as utilisé (en spé math) avec 2^(ab)-1=(2^(a)-1((somme de k=0 à b-1 (2^(a))^k 1^(b-1-k) en simplifiant avec 2^(a)-1=(2^(1)-1)(somme de k=0 à a-1 2^(a-1-k) 1^(k))?
et comme 2^(a)-1|2^(a)-1 et 2^a -1| le reste de la simplification >>>> 2^(a)-1|2^(ab)-1?

Merci encore (c'est ma dernière question).

[A voir en vidéo sur Futura]