Exercice optimisation
Bonjour,
dans mon exercice j'ai un cercle de rayon 4 et un rectangle qui est inscrit dans ce cercle, on me demande l'aire max de ce rectangle.
J'ai essayé de faire un calcul avec les diagonales du rectangle mais il ne me sert pas puisque cela ne rentre pas dans les données de l'énnoncé.
Est ce que quelqun pourrai me donner la méthode pour calculer cette aire svp ?
Bonjour,
Intuitivement, le rectangle qui a l'aire maximale est un carré. Pour le démontrer, c'est un peu moins simple.
Je te propose une piste :
Tu appelles x et y les côtés du rectangle et exprimes y en fonction de x. L'aire du rectangle est A = f(x) = x * y, fonction qui s'exprime uniquement en fonction de x. Après, tu peux étudier les variations de cette fonction et montrer que l'aire du rectangle passe par un maximum.
Et pour compléter, tu peux dire que la diagonale de ton carré vaut 4, donc un côté à pour mesure:
4²=x²+x²
16=2x²
x= racine de (8) ou x= -racine de (8) mais vu qu'il s'agit de longueur, tu peux que avoir comme longueur x= racine de 8 = 2racine(2)
La diagonale du carré est 8 en fait (le rayon du cercle vaut 4), donc l'aire vaut 4√2. Mais, il faut d'abord prouver que le rectangle ayant l'aire maximale est un carré...Et pour compléter, tu peux dire que la diagonale de ton carré vaut 4, donc un côté à pour mesure:
merci
Mais comment est ce que j'étudie les variations de f(x) sachant que f(x) = x*y
Appelle a et b les côtés du rectangle.
Combien vaut a² + b² ?
Combien vaut l'aire S ?
Tu vas calculer, non pas S mais S², c'est plus simple et chercher quand S² est maximale, ça revient au même.
Tu calcules b² en fonction de a² et tu portes dans S².
Ca te donne une expression de y=S² en fonction de x=a²
Quand y est-elle maximale ?
Merci j'ai compris,
Grâce au calcul on peut obtenir la valeur d'un des côtés et dans ce cas là on peut alors trouver l'aire
Seulement il faut que je pouve que le rectangle est un carré...
Si les 2 côtés consécutifs a et b sont égaux, il y a de fortes chances que ce soit un carré !
D'accord ça c'est bon seulement je peut prouver que les diagonales sont égales et non pas les côtes car je ne faisait que le supposer depuis le debut
Dans un rectangle aussi les diagonales sont égales. A quoi ça te servait ?
Je ne vois pas comment prouver que le rectangle est un carré ici
Ca serait bien que tu dises comment tu as fait et comment tu as trouvé a pour que l'aire soit maximale.
(1) y^2 + x^2 = 8^2
donc y = sqrt(64 - x^2)
la surface du rectangle est f(x,y) = x*y
alors f(x) = x*sqrt(64 - x^2)
f'(x) = 0 donc x = 2*sqrt(8)
d'apres (1) y = 2*sqrt(8)
donc c'est un rectangle avec x = 2*sqrt(8)
