Limites et asymptotes

invite277ce9bc · 17/04/2011, 11h16

Tout d'abord, Bonjour à tous

J'aurais besoin d'aider pour cet exercice de Mathématiques s'il vous plait.
Voici l'énoncé :

Soit f la fonction définie sur R/ -1 par :
f(x) = (x3)-x+4/(x+1)

1)Déterminer la limite de la fonction f en chacune des bornes de son ensemble de définition.

2) Soit g la fonction définie sur par:
g(x)=2x3+3x²-5
a) Donner une racine évidente de g(x) et en déduire une factorisation de g(x)
b) Démontrer que pour tout réel x différent de -1, f'(x)=g(x)/(x+1)²

3)Etablir le tableau de variation de f sur R/-1

4) Démontrer qu'il existe des réels a,b,c, d tels que :
pour tout réel x différent de -1,
f(x)= ax²+bx+(c)+ d/(x+1)

5) Soit h la fonction définie sur par :
h(x)=ax²+bx+c
où a,b,c sont les réels déterminés dans la question précédente.
Etablir le tableau de variation complet de h sur .

6)a) Etudier le signe de f-h sur R/-1.
Interpréter graphiquement

b) Déterminer la limite de f-h en -infini, puis en +infini.
Interpréter graphiquement

7) Tracer la courbe C représentative de f et la courbe P représentative de h dans un même repère orthonormé d'unité graphique 2cm.

* Note : On dit que les courbes C et P sont des courbes asymptotes

Merci !

invite277ce9bc · 17/04/2011, 11h18

Voilà ce que j'ai fais : Pour la première question je trouve :

lim f(x) = + infini
x+infini

lim f(x) = -infini
x-infini

lim f(x) = +infini
x-1
x > -1

lim f(x) = -infini
x-1
x < -1

Est ce que je peux simplement justifier en disant que la limite est celle du terme de plus haut degré ?

Pour la 2)a) Je n'arrive à la trouver la racine "évidente" j'ai essayé de "transformer" ce trinome en un trinome du second degré mais j m'embrouille et je trouve un résultat avec deux racines, or on doit en trouver qu'une seule ici.

2b) Je trouve f'(x) = 2x²-1 pour la dérivée et je ne vois pas comment je peux démontrer que pour tout réel x-1, f'(x)=g(x)/(x+1)²

3)Lorsque que je fais le tableau de variation avec la dérivée je trouve quelque chose de différent par rapport à la courbe sur la calculatrice. Me suis-je trompé dans la dérivée ? ( tableau ci-joint )

4) Cette question ne me pose pas de problème

**Lechero** · 17/04/2011, 12h13

Salut,

pour la :
2)a) : des racines évidentes sont des valeurs pour lesquelles un polynôme s'annule. En général, elles valent -1, 0 ou 1.
Remplace ces valeurs dans g(x) et, lorsque tu auras g(x)=0, tu peux factoriser g(x) de la forme (x-laracineévidente)(ax²+bx+c) et tu trouves a, b et c par identification

2)b) f(x) est de la forme u/v. Sa dérivée est de la forme (u'v-uv')/v². Je te conseil de refaire ta dérivée...
Ensuite, une fois que tu auras f'(x); tu écriras g(x)/(x+1)² et tu devrais trouver la même chose (n’oublies pas que g(x) peut aussi s'écrire avec la forme factorisée que tu auras trouvé en 2)a) )

3) Si tu crois t'être trompé, tu peux télécharger Géogebra pour tracer tes fonctions, ça te permettra de voir si tu as faux ou non si un jour t'en as besoin.
Pour le moment, je pense que c'est normal que tu es deux choses incohérentes, étant donné que je ne crois pas trop en ta dérivée...

A toi de jouer

PS: j'ai aussi un doute pour tes limites..
Ta fonction c'est bien (x^3-x+4)/(x+1) ?

invite277ce9bc · 17/04/2011, 12h52

Merci,

2a) Pour la racine evidente de g(x) j'ai trouvé 1. Et donc la factorisation est g(x)=(x-1)(2x²+5x+5). C'est ça ?

Ensuite ,
2)b) J'ai calculé la dérivée de f(x) :
f'(x) = [(2x-1)(x+1)-x^3 + x -4] / (x+1)²
= [2x²+2x-x-1-x^3 + x -4] / (x+1)²
= (-x^3 +2x²-5) / (x+1)²

Mais je ne trouve pas pareil que g(x)/(x+1)² ... Je me suis encore trompé dans la dérivée ?

Oui ma fonction est bien (x^3-x+4)/(x+1) , mes limites sont fausses ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Lechero** · 17/04/2011, 14h19

Salut,

pour:
2)a) => Parfait.

2)b) Tu as dû faire une (petite) erreur.
La dérivée est : $\text{[math]}$
Refais le (u'v-uv')/v² avec: u(x) = x^3 -x + 4 et v(x) = x+1.

Quant à tes limites, en vérifiant avec ta calculatrice ou avec Géogebra, on voit que :
en -oo = +oo
en -1 "moins" = -oo
en -1 "plus" = +oo
en +oo = +oo

invite277ce9bc · 17/04/2011, 19h09

Pour les limites est ce que je peux seulement justifier graphiquement ?

Pour la 2b)
Je trouve ( 2x^3 + 3x²+x-4 ) / (x+1)²
Autrement dit ... Je n'arrive toujours pas au résultat souhaité :/

Cependant je ne vois pas où est mon erreur

Etape par etape ca donne :
[ 3x²(x+1)-(x^3-x+4) ] / (x+1)²
= ( 3x^3 + 3x² - x^3 + x - 4 ) / ( x+1)²
= ( 2x^3 + 3x²+x-4 ) / (x+1)²

Pourriez vous m'indiquer où est ce que je me trompe s'il vous plait ?

**Lechero** · 17/04/2011, 19h17

Envoyé par Liam23

Etape par etape ca donne :
[ 3x²(x+1)-(x^3-x+4) ] / (x+1)²
= ( 3x^3 + 3x² - x^3 + x - 4 ) / ( x+1)²
= ( 2x^3 + 3x²+x-4 ) / (x+1)²

L'erreur est là : u(x) : x^3 -x +4 u'(x) = 3x²-1 et non 3x²

Et les limites doivent être démontrées... Les maths c'est que des résultats démontrés, sauf quand c'est non demandé.

Voilà

invite277ce9bc · 17/04/2011, 20h07

Merci beaucoup Leuchero

!

Grâce à vous j'ai ENFIN trouvé cette dérivée !

Cependant, pour les limites j'arrive à les "calculer" sans soucis sauf pour moins l'infini,
En effet lorsque je veux la calculer :
lim x^3 + lim -x+4 => Forme indéterminée !
Pour x qui tend vers -infini
Et en factorisant x je tombe sur :
lim x=-infini * lim x²-1=+infini => - infini , or je dois trouver +infini.

Où est le problème alors ? La limite de chacun des membres me semble pourtant juste ...

**Lechero** · 18/04/2011, 17h19

Salut,

$\text{[math]}$

La limite en +/- infini d'un polynôme est égale a la limite du quotient de ses termes de plus haut degré, soit :
lim f(x) = x²/x = x = -oo

Je trouve moi aussi -oo.... je bloque un peu moi aussi (je suis qu'en Tle S ^^)

invite277ce9bc · 18/04/2011, 19h26

Ah mince ... :P . En tout cas merci de m'avoir aidé jusque là

**Lechero** · 18/04/2011, 19h37

De rien, c'est normal !

Merci aussi à toi, t'es sympa et en + tu bosses, tu nous montres ce que tu fais et tu n'attends pas qu'on te fasse tout, c'est agréable !

Si t'as d'autres questions, n'hésites pas !

Bonne soirée et à très bientôt !

invite277ce9bc · 18/04/2011, 20h23

Bonne soirée à toi aussi

.

Et a vrai dire si tu pouvais m'aider aussi pour les questions suivantes ca serait gentil :$

Pour la 6a) , en faisant f-h
Je trouve (-2x²-2x+4) / (x+1)²
Je calcule le signe du dénominateur et du numérateur

Et j'ai le tableau de signe suivant :

J'espère que je me suis pas trompée ..

**Lechero** · 18/04/2011, 20h58

Tu as pris quoi comme réels a, b et c ?

invite277ce9bc · 18/04/2011, 21h18

a=1
b=-1
c=0
et d =4

**Lechero** · 19/04/2011, 19h20

Pour le tableau de signe que tu m'as donné, il semble être faux... Car tu n'as pas mis que (x+1) est au carré !

invite277ce9bc · 19/04/2011, 20h21

Ah oui c'est vrai merci !

Ca y'est maintenant j'ai réussit à finir l'exercice ! Merci beaucoup de ton aide Lechero

Bonne soirée

**Lechero** · 19/04/2011, 21h00

De rien, c'est normal

Reviens quand tu veux si tu as un jour un autre problème !

Bonne soirée à toi aussi !

invite277ce9bc · 20/04/2011, 10h11

En voulant mettre au propre mon exercice j'ai remarqué que dans la 6b) après avoir Déterminer la limite de f-h en -infini, puis en +infini. Je ne comprends pas comment "Interpréter graphiquement" , il faut dire " quand x tend vers ... " ?

Excuse moi d'encore te déranger avec cet exercice :$

**Lechero** · 20/04/2011, 12h32

Salut,

tu me déranges pas, je suis là pour ça

Le titre de ton post c'est "Limites et asymptotes"

Donc je pense (je n'ai pas vérifié) que les limites doivent tendre vers un nombre fini. Qu'est-ce que se passe (graphiquement) quand une limite est un nombre fini ?

invite277ce9bc · 20/04/2011, 12h42

Les limites tendent vers O+ en +infini
Et vers O- en - infini

Donc la droite d'équation y = O+ et y=O- sont toutes deux des asymptotes horizontales de la courbe C . C'est ça ?

**Lechero** · 20/04/2011, 16h07

Exact.

Rigoureusement :

La courbe représentative de la fonction ... admet, en ...., une asymptote horizontale/verticale d'équation y/x = ... .

Tu as quoi comme fonction f-h ?

Et tu as oublié deux autres bornes de ton intervalle de définition (pour les limites / asymptotes)

invite277ce9bc · 20/04/2011, 16h55

D'accord merci

Pour f-h je trouve 4/(x+1)

**Lechero** · 20/04/2011, 19h21

Parfait.

Et en fait, ne fais pas les limites aux autres bornes (-1 gauche et -1 droite); elles ne sont pas demandées. Erreur de ma part

invite277ce9bc · 21/04/2011, 09h15

D'accord

Encore merci beaucoup Lechero

!

Bonne journée

**Lechero** · 21/04/2011, 16h51

De rien, encore une fois : c'est normal !

Bonne soirée à toi

**Saab.M** · 22/04/2011, 18h38

Il faut dire que la droite x=1 est une asymptote verticale.

Limites et asymptotes