suites

[invite206cea37]

Bjr j'ai pratiquement tout fait mais je bloke à la fin...

On considère la suite u(n) définie par u(0)=1 et pour tout n :

u(n+1)=1/4u(n)+n (1)

1) Déterminer une suite arithmétique (w(n)) satisfaisant la relation de récurrence (1)

2) On pose v(n)=u(n)-w(n)
Montrer que la suite (v(n)) est géométrique et préciser sa raison.

3) Exprimer v(n), puis u(n) en fonction de n. Déterminer la limite de u(n), puis de u(n)/n lorsque n tend vers + l'infini.

Je bloque à la troisème question pour trouver v(n) en fonction de n :

v(n)=v(0)*q^n

q=1/4 mais v0 je peux pas le calculer puisque j'ai pas v(n)...
Faut que je passe autrement ! mais je vois pas comment...
Pour info quand on me dit v(n)=u(n)-w(n) il me manque u(n) ... donc je peux pas le trouver comme ça ...
Merci de m'aider !
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[invite0022ecae]

bonjour,
tu as répondu quoi à la question1) ?

[invite206cea37]

w(n)= -1+4n

comment j'ai fait ? j'ai dit que w(n+1)=(1/4)w(n)+n et que w(n)=w(0)+nr

j'ai cherché w(0) et r

[invite57a1e779]

On considère la suite u(n) définie par u(0)=1 ...
2) On pose v(n)=u(n)-w(n)

Donc v(0)=u(0)-w(0)=1-w(0), et w(0) a été calculé à la question 1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite206cea37]

Oui mais à w(0) je trouve -1 donc v(0)=1-1=O après je prend v(n) = o*(1/4)^n
humm ça fait 0 tout ça....

[invite0022ecae]

non w(o)=-1 donc v(0)=1--1=2

[invitef1b93a42]

Bonsoir,
Tout d'abord on sait à présent que et que . Donc, et ainsi c'est-à-dire . Ainsi, d'où . Alors, on en déduit l'expression de qui est c'est-à-dire et donc on a . Ainsi, en factorisant par n, on trouve .

[invite206cea37]

Ah oui.... je me suis trompée dans les signes.... Merci bcp...
et une dernière question :
pour trouver u(n) en fonction de n : je fais u(n)=v(n)+w(n)
u(n)= 2*(1/4)^n+1/4n-1
Aucune simplification pour u(n) n'est possible à ce stade ?
Avec cette forme de u(n) je trouve que sa limite est 1 parce que à la fin il me reste 2-1 puisque lim(1/4)^n=0 Et lim(1/4)*n=0
C'est ça ?

[invite206cea37]

équinoxx je me suis trompée w(n)=-1+(1/4)n

[invite206cea37]

Ok je vois que je me suis trompée :
lim(u(n))=lim(2*(1/4)^n+1/4n-1)

je trouve que la limite de u(n)= -1

c'est ça ?

[invitef1b93a42]

Non, et donc

[invitef1b93a42]

Pour la dernière question, tu factorises par n, cela donne . Puis tu calcules la limite de en simplifiant le n au numérateur et au dénominateur, on trouve donc .

[invite206cea37]

Merci bcp j'ai compris ou étaient mes erreurs ... je croyais que lim(1/4)*n=O car je réfléchissais en me disant lorsque q est compris entre -1 et 1 alors la limite c'est 0...
En tout cas merci bcp d'avoir pris le temps de m'aider !