Bonsoir,
Je bloque sur la 1ere question d'un exercice mais j'ai réussi a faire le reste.
voici l'énoncé:
Un ballon stratosphérique est constitué d'une enveloppe gonflée d'un certain volume d'hélium, d'une nacelle et de divers capteurs et instruments permettant de transmettre au sol les mesures effectuées. L'ensemble a pour masse m.
On se place dans un référentiel terrestre où l'on considère un axe (Oz) vertical, orienté vers le haut. L'origine O représente la position du bas à la nacelle à l'instant t=0, instant auquel on lâche le ballon sans vitesse initiale.
Le temps t est exprimé en secondes et les distances en mètres.
On nomme vz(t) la composante de la vitesse sur l'axe (Oz) c'est à dire la vitesse ascentionnelle du ballon à l'instant t (t>= 0)
Modélisation
En faisant différentes hypothèses, on peut modéliser la force de frottement Fr de l'air sur l'enveloppe Fr = kv² où k est un coefficient qui dépend du ballon.
Le bilan des forces projeté sur l'axe (Oz) permet d'obtenir la relation : dvz/dt= -(k/m)vz²+ (((p0*V)/m)-1)*g0
où V désigne le volume de l'enveloppe, supposée sphérique de rayon r, et ρ0 la masse volumique de l'air.
On prendra pour l'application numérique :
g0≈9,81m.s^-2, ρ0=1,22kg.m^-3, m= 8,00kg, r=1,30m et k=2,91kg.m^-1
1/ Ecrire une équation différentielle dont vz est solution
C'est la seule question que je n'ais pas su faire!
2/ on utilise maintenant la méthode d'Euler avec un pas de 0,25s
a. Montrer que l'approximation affine de vz à l'instant t est :
vz(t+△t)≈ vz(t) + (-k/m vz²+ (((ρ0*V)/m) -1)g0)△t
Là soit on dit:
f(a+h)=f(a)+h*f'(a) où f=Vz ; a=t ; h=△t et f'=dvz/dt
ou:
dvz/dt ≈ (vz(t+ △t) - vz(t))/△t
après on remplace tt simplement!
Mais laquelle vaut mieux prendre?
b/ On appelle vn la vitesse à l'instant t= n*0,25 secondes
Montrer que vn+1 ≈ vn - 0,091vn² + 0,99
Là on remplace △t dc pas très compliqué
c/ Représenter par une courbe approchée l'évolution de la vitesse vz en fonction du temps pour 0≤t≤3
Là aussi facile
d/ Estimer une valeur approchée de la "vitesse limite" du ballon
ca c'est fait
Pouvez vs m'aider a faire la 1ere question et me dire si le résonnement de la 2.a est juste ?
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