Bonjour (ou plutôt bonsoir) à vous tous, j'ai un Devoir Maison à faire en Maths mais étant donné mon niveau dans cette matière, je n'arrive à rien. Pourriez-vous m'aider, s'il vous plait ?
La fonction f est définie sur R par f(x)=x3-31x²+116
1°) Déterminer par le calcul les trois réels a, b et c tels que : f(x)=(x-2)(ax²+bx+c).
2°) Résoudre alors l'équation f(x)=0.
3°) Etudier le signe de f(x) sur R.
Merci d'avance.
Salut, je vois que tu fais partie de ceux qui vont demander de l'aide sur Internet pour leur devoir maison. T'inquiète! Tu vas te taper une bonne note!
Tout d'abord, on est en présence d'une équation du troisième degré.
Apparemment, 2 est une des racines de l'équation.
On pose que f(x) = X³-31x²+116, puis
On pose que f(x) = (x-2)(ax²+bx+c)
Il suffit de développer la deuxième ligne.
(x-2)(ax²+bx+c) = ax³+bx²+cx-2ax²-2bx-2c
= ax³+(b-2a)x²+(c-2b)x-2c
Cette dernière fonction est égale à x³-31x²+116, la fonction de départ.
Donc, on les compare et:
a = 1
b-2a = -31
c-2b = 0
-2c =116
Si a=1, alors b-2(1) = -31
b = -31+2
b = -29
D'où c-2b = 0
c-2(-29) = 0
c = 58
L'équation d'arrivée est donc :
f(x) = (x-2)(x²-29x+58)
En développant, on vérifie que cette équation est bien égale à l'équation du départ.
Bonne nuit et tape-toi une bonne note mon gars.
Au fait, j'ai oublié les questions suivantes.
Pour résoudre l'équation, il suffit de dire qu'il y a au maximum trois racines (solutions). La première est forcément 2 puisqu'on a factorisé f(x) avec (x-2).
Les autres racines s'obtiennent en calculant le discriminant de la deuxime partie de l'équation d'arrivée, soit (x²-29x-58).
Delta = (-29)²-4(-58) = 841+232 = 1073
Le discriminant est positif donc il y a deux solutions :
x1 = [29-racine(1073)]/(-58)
= 18,564 environ
x2 = [29+racine(1073)]/(-58)
= -19,565 environ
A la fin, il ne te reste plus qu'à dire que les solutions sont 2 ; 18,564 et -19,565, et à mettre f(x) sous la forme f(x) = (x-2)(x-18,564)(x+19,565).
Pour l'étude du signe de f sur R, il te faut calculer la dérivée f' et dresser un tableau de signes.
f(x)= x³-31x²+116 donc
f'(x) = 3x²-62x
Discriminant de f' :
Delta = (-62)²-4(3*0)= (-62)² = 3844
Deux solutions :
x1 = [(-62)²-racine(3844)]/6
= 0
x2 = [(-62)²+racine(3844)]/6
= 7688-6
= 1281+1/3
Comme la fonction f' est de la forme ax²+b²+x avec a>0, la fonction est positive sauf entre les deux racines. Donc, dans le tableau de signes, on mettra
qu'elle est positive entre -infini et -19,565, négative entre -19,565 et 18,564, positive entre 18,564 et +infini. ensuite, il y a la ligne (x-2) où ce
membre est négatif quand x<2, nul quand x=2 et positif quand x>2.
La ligne suivante est celle de f(x) = (x-2)(x-18,564)(x+19,565), qui est la multiplication entre les deux lignes précédentes (MOINS*MOINS=PLUS et MOINS*PLUS=MOINS).
C'est cette ligne qui est la véritable référence pour définir les variations de f.
Sur la dernière ligne, on mettra que la fonction f est décroissante quand f' est négative et croissante quand f' est positive.
Les fonctions f et f' ne sont évidemment pas définies sur les racines donc on met une double barre verticale dans le tableau au niveau de ces points.
Une petite phrase de conclusion qui définies les variations de la courbe f ("f est croissante entre...").
J'espère que ça ira pour ça. A bientôt!
