Bonjour, alors je suis perdu dans un exercice de mon DM et j'aurais besoin d'aide
Exercice:
On note A et B les points d'affixe respectives -i et 3i. On note f l'application qui, à tout point M du plan, d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' telle que: z'=(iz+3)/(z+i)
1)a) Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB].
b)On note C le point d'affixe c=-2+1. Démontrer que le point C', image de C par f, appartient à l'axe des abscisses.
2)Pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que arg(z')=(MA,MB)+Pi/2 à 2Pi près.
3)a) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit un nombre complexe imaginaire pur.
b)Soit M d'affixe z un point du cercle de diamètre [AB] privé des points A et B. A quel ensemble appartient le point M'?
Pour la 1)a);2 et 3)b) je ne sais pas comment faire...
1)b)z'c=(i(-2+i-3i)) / (-2+i+i) = -1
donc z'c est un réel car Im(z'c)=0 donc c' appartient à l'axe des abscisses.
3)a)z'=(iz+3)/(z+i)=(i(x+iy)+3)/(x+iy+i)
=(ix-y+3)/(x+iy+i)
=[(ix-y+3)/(x+7y+i)]*[(x+iy-i)/(x+iy-i)]
=(ix²-xy+x-yx-iy²+iy+3x+3iy-3i)/(x²-y²+1)
=(4x-2xy)/x²-y²+1) + (ix²-iy²+iy+3iy-3i)/(x²-y²+1)
Pour que z' soit un nombre complexe imaginaire pur, Re(z')=0
donc (4x-2xy)/(x²-y²+1)=0
<=>4x-2xy=0
<=>y=2
Donc l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit un nombre complexe imaginaire pur est la droite d'équation y=2.
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