Exercice

[invite4cef3816]

Bonsoir, je voudrais qu'on vérifie mes réponses et qu'on m'aide pour deux questions s'il vous plaît.

Exercice:
On note A et B les points d'affixe respectives -i et 3i. On note f l'application qui, à tout point M du plan, d'affixe z, distinct de A, associe le point M' d'affixe z' telle que: z'=(iz+3)/(z+i)

1)a) Démontrer que f admet deux points invariants J et K appartenant au cercle de diamètre [AB].
b)On note C le point d'affixe c=-2+i. Démontrer que le point C', image de C par f, appartient à l'axe des abscisses.

2)Pour tout point M du plan distinct de A et B, démontrer que arg(z')=(MA,MB)+Pi/2 à 2Pi près.

3)a) Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit un nombre complexe imaginaire pur.
b)Soit M d'affixe z un point du cercle de diamètre [AB] privé des points A et B. A quel ensemble appartient le point M'?

1)a)f(z)=z
(iz+3)/(z+i)=z
iz+3=z²+iz
z²=3
z= racine de 3 ou -racine de 3

comment prouver que ces deux points appartiennent au cercle de diamètre [AB]?

b)z'c=(i(-2+i-3i)) / (-2+i+i) = -1
donc z'c est un réel car Im(z'c)=0 donc c' appartient à l'axe des abscisses.

2)arg(z')=arg([(i(z-3i))/(z+i)])
=arg (i) + arg (z-3i)/(z+i)
=Pi/2 + arg(AM;BM)
=Pi/2 + arg(MA;MB)

3)a)z'=(iz+3)/(z+i)=(i(x+iy)+3)/(x+iy+i)
=(ix-y+3)/(x+iy+i)
=[(ix-y+3)/(x+7y+i)]*[(x+iy-i)/(x+iy-i)]
=(ix²-xy+x-yx-iy²+iy+3x+3iy-3i)/(x²-y²+1)
=(4x-2xy)/x²-y²+1) + (ix²-iy²+iy+3iy-3i)/(x²-y²+1)
Pour que z' soit un nombre complexe imaginaire pur, Re(z')=0
donc (4x-2xy)/(x²-y²+1)=0
<=>4x-2xy=0
<=>y=2
Donc l'ensemble des points M d'affixe z tels que z' soit un nombre complexe imaginaire pur est la droite d'équation y=2.

b) comment faire?

Merci d'avance.
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[invite0022ecae]

1) a) OK.
Pour prouver qu'ils appartiennent au cercle, réponds aux questions suivantes:
- Si I est le centre, quel est son affixe ?
- Quel est le rayon ?
- Si P1 et P2 sont les points fixes et qu'ils appartiennent au cercle prouve que IP1=IP2
b) OK
2) Je corrige quelques détails:
arg(z')=arg([(i(z-3i))/(z+i)]) à 2pi près
=arg (i) + arg ((z-3i)/(z+i)) à 2pi près
=Pi/2 + (AM;BM) à 2pi près
=Pi/2 + (MA;MB) à 2pi près

3)a) C'est surement faux car f(-i)=-i qui est un imaginaire pur et pourtant -i n'appartient pas à la droite d'équation y=2

utilise plutôt 2) et le fait que: si z' est un imaginaire pur alors arg(z')=pi/2 à pi près

[invite4cef3816]

Pour la 1)a) I=i
rayon2
IP1=racine de 7=IP2

[invite0022ecae]

Pour la 1)a) I=2

çà veut dire quoi ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0022ecae]

La modification est exact, enfin.... il faut écrire affxe de I=i
Le reste OK

[invite4cef3816]

par contre je ne vois pas trop comment utiliser le fait que z' est un imaginaire pur quand arg(z')=Pi/2

[invitebdb1dab8]

3)a)z'=(iz+3)/(z+i)=(i(x+iy)+3)/(x+iy+i)
=(ix-y+3)/(x+iy+i)
=[(ix-y+3)/(x+7y+i)]*[(x+iy-i)/(x+iy-i)]
=(ix²-xy+x-yx-iy²+iy+3x+3iy-3i)/(x²-y²+1)
=(4x-2xy)/x²-y²+1) + (ix²-iy²+iy+3iy-3i)/(x²-y²+1)

C'est faux déjà le 7y qui sort de nulle part et ensuite le conjugé d'un complexe,c'est le nombre qui a la même partie réelle mais un partie imaginaire opposée donc pas seulement .Pour éviter ce genre d'erreur factorise par .Voila je te laisse recalculer la forme algébrique de cette façon.

[invite0022ecae]

3)a) C'est surement faux car f(-i)=-i qui est un imaginaire pur et pourtant -i n'appartient pas à la droite d'équation y=2

Ne tiens pas compte de ce que j'ai écrit c'est faux puisque f(-i) n'existe pas , désolé

[invite0022ecae]

Tu es d'accord avec çà:
Si z' est un imaginaire pur alors arg(z')=pi/2 à pi près

[invite4cef3816]

oui je suis d'accord

[invite0022ecae]

En utilisant cet argument et la question 2, on obtient:
Si M d'affixe z tels que z' soit un nombre complexe imaginaire pur alors
arg(z')=pi/2 à pi près et comme arg(z')=(MA,MB)+Pi/2 à 2Pi près on obtient:
(MA,MB)=0 à pi près donc M est sur la droite (AB) privée de A et de B
Je ne suis pas sur de moi. Demande confirmation, je dois te laisser, bon courage .

[invite4cef3816]

ok bah merci beaucoup

[invite4cef3816]

quelqu'un peut m'aider pour la 3)b) svp?

[invitebdb1dab8]

C'est le cercle de diamètre [A'B'] privé de A' et B'