La fonction exponentielle & la dérivée de la dérivée.

[invite9c4411d1]

Bonsoir a tous et à toutes...

Mon prof de maths dans son extrême gratitude nous a donné un exo noté que je dois faire pour demain le problème est que je n'arrive pas à trouver les dérivées f' et f" à la question 1, j'en ai trouver plusierurs et toutes différents chaque fois que je la faisait...

Voilà je vous ai écrit l'énoncé :

Remarque : dans cet exo tous les < ou > signifient inférieur ou égal /supérieur ou égal (car je ne sais pas faire le symbole correspondant :s)

Quelques fois, pour étudier le signe d'une expression trop complexe, une possiblilité est détudier les variations en espérant que le tableau de variations permette d'en déduire le signe.
Ainsi, si l'on cherche le signe d'une dérivée f', il arrive parfois qu'il faille étudier les variations de f' et donc calculer f'', la dérivée de la dérivée.

Cette technique est utilisée dans le problème suivant :
On veut montrer que, pour tout x<0, on a l'encadrement :
1+x+(x²/2)+(x³/6)<e^x<1+x+(x²/2).

Partie A

Dans cette partie, on va montrer que e^x<1+x+(x²/2). Pour cela, on considére la fonction f définie sur ]-oo; 0] par :

f(x) = e^x - [1+x+(x²/2)].

Le but est de montrer que f est toujours négative.
1) Calculer f' puis f''.
2) Etudier le signe de f"(x) et en déduire les variations de f'.
3) En déduire le signe de f'(x) puis les variations de f.
4) Conclure.

Partie B

En utilisant le même genre d'approcheque dans la partie A, montrer que 1+x+(x²/2)+(x³/6)<e^x pour tout x<0.

D'avance merci pour votre aide... - Jonathan
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[Arkangelsk]

Bonsoir,

Je crois que le plus efficace serait que tu postes tes calculs ici, en regardant là au besoin pour écrire de belles formules.

Pour le signe inférieur ou égal, par exemple, c'est : écrire \leq en ajoutant les balises TEX.

[invite9c4411d1]

OK merci du conseil Arkangelsk je vais poster mes calculs.

[invite9c4411d1]

Alors voilà ce que je trouves pour la dérivée :

f(x) = e^x-1+x+(x²/2)
f(x) = e^x-1+x+(x²*(1/2))[/INDENT]
or e^x'=e^x

donc :
f'(x) = e^x+1+(2x*(1/2))
f'(x) = e^x+1+(2x/2)

en simplifiant le numérateur et le dénominateur on obtient :
f'(x) = e^x+1+x

et donc f"(x) = e^x+1

mais je ne suis vraiment, mais alors vraiment pas sur de mes calculs de dérivées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arkangelsk]

Jusque là, ça m'a l'air correct, tu peux continuer

Juste une remarque :

or ex'=ex

Je n'écrirais pas ça "sur une copie", c'est en fait une notation abrégée.

[invite9c4411d1]

D'accord, je vais poursuivre mes calculs, merci pour répondre aussi vite ^^ et merci du conseil

Je reposte mes calculs au plus vite...

[invite9c4411d1]

Alors voilà :

comme e^xest toujours positive; e^x+1 l'est aussi.

Donc f"(x) est toujours positive sur R.
Par conséquent f'(x) est croissante sur R.

Mais elle est négative sur un certain intervalle et positive sur un autre, le problème est je n'arrive pas à déterminer la valeur de l'abscisse pour laquelle f'(x) s'annule.

[Arkangelsk]

Indice : tu n'es pas obligé de connaître le point où la dérivée s'annule. Tu peux considérer le réel tel que dans ton tableau de variations. Il est néanmoins possible de donner un intervalle pour . Par exemple : et , donc

Bon, assez dit .

[invite9c4411d1]

Oui j'ai déjà fait ce genre d'exos en cours mais je savais pas que je pouvais refaire pareil ^^

Merci pour l'indice ^^

Donc j'ai fait un intervalle à 10-² prés je trouve :
f'(-1.28)<0
f'(-1.27)>0
donc je peux en déduire que f'(x) est négative sur ][ et positive sur [[

=> Par conséquent f(x) est décroissante sur ][ et croissante sur [[


Par contre je ne comprends pas pourquoi dans l'énoncé c'est marqué :
"Le but est de montrer que f est toujours négative."

[Arkangelsk]

Bon, eh bien désolé de t'avoir induis en erreur : en fait, je n'ai regardé que ton post #4 de calcul de dérivée (qui est correct).

Cependant, ta fonction est :

f(x) = ex - [1+x+(x²/2)]

que tu transformes en :

f(x) = ex-1+x+(x²/2)

Alors que c'est en fait :

Tout est à refaire , mais comme ton premier calcul de dérivée était correct, il n'y a pas de raison que tu te trompes maintenant. Et les calculs devraient être plus sympathiques ...

[invite9c4411d1]

Justement, sur mon énoncé j'ai :

f(x) = e^x - [1+x+(x²/2)]

mais avec des crochets alors ça m'a destabilisé ^^
est ce que les crochets fonctionnent comme des parenthèses?

[Arkangelsk]

est ce que les crochets fonctionnent comme des parenthèses?

Bien sûr ! Les crochets ne sont là que clarifier la notation. Pour éviter d'avoir un truc du genre (((x²+1)(x-1)-8)²-7)(x+2) ...

Exactement les mêmes propriétés que les parenthèses.

[Arkangelsk]

Je t'indique le résultat auquel tu devrais aboutir, en caché.

 Cliquez pour afficher

est croissante et , donc ...

[invite9c4411d1]

D'accord c'est toujours bon à savoir ça

Bon j'ai refais les calculs mais je crois qu'il y a un problème (quand je disais que je ne suis pas douer )

f(x) = e^x - [1+x+(x²/2)]
f(x) = e^x-1-x-(x²/2)

donc f'(x) = e^x-1-x
et par conséquent f"(x)= e^x-1

donc quand on fait le tableau on obtient :
=> f"(x) négative sur ]] et positive sur [[

=> f'(x) décroissante sur ]] et croissante sur [[

=> f'(x) positive sur ][

=> f(x) croissante sur R

Or dans l'énoncé c'est marqué :
"Le but est de montrer que f est toujours négative."

[invite9c4411d1]

C'est bon, je viens enfin de réaliser que le domaine qui nous intérresser était ]].

Donc sachant que f(x) est une fonction croissante et que f(0) = 0 on en déduit que :

=> f(x) est négtive sur ]], et qu'elle est positive sur [].

Ainsi sachant que le domaine qui nous intérresse est ]] on en déduit que f est touours négative sur cet intervalle .


Merci d'avoir pris le temps de répondre à chacunes de mes questions, merci pour tes conseils et indications