A raz bord - problème Tale S

[invite20045f3c]

Bonjour,
J'ai un problème de recherche à faire. Notre prof nous en donne environ 3 par trimestre. Ce sont des problèmes facultatifs, généralement assez dur, mais qui font un bonus dans la moyenne si on y arrive bien. Voici le dernier qu'il nous a donné :

Un grand bol hémisphérique de 20cm de rayon contient une boule de 10cm de rayon. On veut mettre le plus possible de petites billes identiques de sorte qu'elles touchent le bol, la boule et qu'elles affleurent à la surface du bol. On complète ensuite avec de l'eau.
Quelle quantité d'eau faut-il prévoir ?

Je précise que j'ai déjà beaucoup cherché dessus, mais je n'ai pas réussi à vraiment avancer.
On peut cependant voir de façon assez évidente que le problème revient surtout à trouver le rayon (ou les coordonnées du centre) des petites billes.
Le problème peut se simplifier en 2 dimensions. Voici un schéma que j'ai fais :


Je ne demande pas la réponse (je préfère trouver le plus possible par moi même), mais si quelqu'un pouvait me donner une piste, ça serait sympa.

Bon pour les lettres que j'ai mises, au cas où ce ne soit pas très clair : Ohmega est le centre du grand cercle (de la boule quoi), S le centre du demi cercle (le bol), O1 le centre du petit cercle (la bille), A l'intersection du grand et du petit cercle, B l'intersection du demi et du petit cercle, et C celle du petit cercle et de la surface D du bol.
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[imaginelle]

bonjour,
je ne sais pas trop comment t'expliquer sans trop de donner de grosse indication mais tans pis .
tous ne sont que des sphères donc tu calcules le volume des trois boules que tu retrancheras au volume de ton bol qui est une demi sphere .donc voila aprés je te laisse deviner combiens de volumes d eau tu dois mettre
voila et bon courage
imaginelle

[invite20045f3c]

Oui mais justement, le volume des petites sphères n'est pas connu. De là vient la difficulté

[imaginelle]

c a toi de le calculer avec des inconnu tu trouve le volume de la grande tu lenleve au bol et tu doit trouver l espace vite a toi de calculer lair kil te reste diviser par deux pour avoir deux bille identique qui pourrai passer voila jespere que sa va t aider
imaginelle

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Le plus difficile est la partie qui consiste à déterminer le rayon des petites boules.
Il te faut déterminer :
- le volume du bol (pas trop dur).
- le volume de la grosse boule (pas trop dur non plus)
- le volume d'une de ces boules (une fois le rayon déterminé).

Tu notes n le nombre (entier) de ces petites boules.
Ce nombre n se déduit par simple différence Vbol < V_{grosse boule} - n*V_{petite boule}.

Le volume d'eau est ce qu'il manque pour arriver à l'égalité.
C'est ce que je ferais.

Duke.

EDIT : Peut-être pour simplifier un peu les calculs, il serait possible de placer l'axe des abscisses à la surface de l'eau... à moins qu'il ne soit imposé...

[invite20045f3c]

Je vais regarder ce que tu me proposes, merci
Non l'axe n'est pas imposé du tout, peut-être est-ce plus simple comme tu dis en effet.

Cependant, c'est justement ce que je dis, la difficulté vient du fait qu'on ne connait pas le rayon ou le nombre de billes. Et c'est là que je bloque, si j'arrive à trouver ça, je ne devrais pas avoir de problème.

[ablanc]

Bonjour à toutes et à tous,
Je vais essayer de résoudre le problème de mon côté mais je vous donne déjà quelques axes de travail.
L'axe des X étant choisi à la surface de l'eau, l'axe des Y étant l'axe vertical du bol.
Le point A étant le centre de la boule A(0,-5), le point E le point de contact entre la boule et le bol E (0,-10)
Le point B étant le centre de la bille de rayon b B(-a,-b)
Le point G étant le point de contact entre la bille et la boule G(x,y)
Le point H étant le point de contact entre la bille et le bol H(x',y')
On a déjà les équations suivantes :
Au point G :
- x² + (y+5)² = 5² / G est sur la boule
- (x+a)² + (y+b)² = b² / G est sur la bille
Au point H
- x’² + y’² = 10² / H est sur le bol
- (x’+a)² + (y’+b)² = b² / H est sur la bille

6 inconnues x, y, x’, y’, a, b
Et seulement 4 équations ?
Il manque l’expression de 2 éléments importants aux points G et au point H :
Au point G, la boule et la bille sont tangents : les dérivées des 2 équations sont égales
Au point H, le bol et la bille sont tangents : les dérivées des 2 équations sont égales
Voilà, je reviens dans quelques jours voir si vous avez progressé…
A bientôt.

[gg0]

8 ans après, il est peu probable qu'ils reviennent !

[ablanc]

Oups problème de date ...
Le problème est donc resté sans réponse ?
Je garde la solution pour moi alors.
Bye.