Nombre d'or

[inviteb517eda2]

Bonjour voilà j'ai un exposé a préparé sur papier pour mon prof et j'ai 2 questions que je n'arrive pas .

On considères la suite de nombres entiers naturels suivants :
1 ;1 ; 2; 3; 5 ; 8; 13 ; 21 ...

a) Déterminer les six termes suivants de cette liste

b) déterminer la suite des 10 premières fractions chacune égale au quotient d'un terme de la suite par le terme précédent

c ) donner l'arrondi au millionième des différentes fractions
Que constate t-on ?



Et l'autre question :

Démontrer que (phi)³ = 2(phi) + 1 et que (phi)⁴ = 3(phi) + 2
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[invite890931c6]

Salut,

Fais quelques recherches sur la suite de Fibonacci tu risques de trouver ton bonheur

[inviteb517eda2]

Oui j'ai trouvé , sur
http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm#rencontre

Mais le problème c'est que par exemple la a)

il me dit :

Déterminer les six termes suivants de cette liste , quesqu'il veut dire par déterminer les six termes suivants ?

[invite890931c6]

déterminez les 6 termes suivants, c'est expliciter leur valeur à partir de la formule de récurrence :

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteb517eda2]

Daccord mais , j'ai compris que pour obtenir 2 c'était 1 + 1 , 3 c'était 2 + 1

On prend à chaque fois les deux derniers termes mais avec la formule je n'arrive pas .


DOnc par exemple pour F2

F2 = F2-1 + F2-2
F2 = 1

es ce ça ?

[inviteb517eda2]

Car j'ai compris sans cette suite que F1 = 1 + 0
F2=1+1
F3=1+2
F5=2+3
F8=3+5
F13=8+5

Mais comment faire par ta relation ?

[leg]

Daccord mais , j'ai compris que pour obtenir 2 c'était 1 + 1 , 3 c'était 2 + 1

On prend à chaque fois les deux derniers termes mais avec la formule je n'arrive pas .


DOnc par exemple pour F2

F2 = F2-1 + F2-2
F2 = 1

es ce ça ?

non

fn-1=13,fn-2=8
(fn-1) +(fn-2) = fn = 21

(fn -1) =21 ,( fn -2) = 13 ;fn =34 ....etc 34+21 = 55 ;55+34 =89...

autrement dit pour le terme suivent, au dernier terme obtenu tu rajoutes l'avant dernier. f6 =21, f7 =34, f8 =55 en partant de:
f0 =1,f1 =2.....f9 = 89.

[inviteb517eda2]

Donc si j'ai bien compris (fn-1) = 0 + (fn-2)= 1 fn = 1
(fn-1 ) = 1 , (fn-2) = 1 ,fn = 2
(fn-1 ) = 2 (fn-2)= 1 fn = 3
(fn-1 ) = 3 (fn-2)= 2 fn=5

[inviteb517eda2]

Si je dis tout simplement dans mon rapport a présenter avant pour mon exposé que cette suite est simple :


1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8; 13 ; 21 ...

chaque nombre est obtenu en ajoutant les deux nombres qui le précèdent :

par exemple :
2 = 1 + 1
3 = 1 + 2
5 = 2 + 3
8 = 3 + 5
13 = 5 + 8
21 = 8 + 13
...


es ce bon ? car je ne comprends vraiment rien avec la formule de récurrence

[invite890931c6]

la formule de récurrence traduit juste la phrase "chaque nombre est obtenu en ajoutant les deux nombres qui le précèdent" ...

[inviteb517eda2]

Ah d'accord .
Dans mon rapport j'ai mis cela :

La suite de Fibonacci est une suite de nombres entiers où un nombre de la suite est le résultat de la somme de ses deux précédents (N3 = N1 + N2)
. En partant du chiffre 1 , on obtient donc 1 + 0=1, 1 + 1= 2, 2 + 1= 3, 3 + 2= 5, etc... La suite s'écrira donc : 0 , 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , ... jusqu'à l'infini.

es ce bon ?

[invite890931c6]

oui, seulement (N3 = N2 +N1) ça revient exactement au même que

nombre que l'on veut.
somme des deux précédents...

[inviteb517eda2]

Ah d'accord ! je vais le rajouter dans mon rapport :

pour le b )

1/1
2/1
3/2
5/3
8/5
13/8
21/13
34/21
55/34
89/55
144/89


les rapports des termes consécutifs fournissent une suite alternée de valeurs rationnelles qui converge vers (phi )


es ce bon ?

[inviteb517eda2]

Comment je peux le démontrer dans la 2° question ?

[leg]

Ah d'accord ! je vais le rajouter dans mon rapport :

pour le b )

1/1
2/1
3/2
5/3
8/5
13/8
21/13
34/21
55/34
89/55
144/89


les rapports des termes consécutifs fournissent une suite alternée de valeurs rationnelles qui converge vers (phi )


es ce bon ?

c) que constate t-on:
les rapports des termes consécutifs fournissent une suite alternée de valeurs rationnelles qui converge vers (phi )

mais soit un peu plus précis dans l'explication de ta suite; comme te le fait remarquer : VegeTal

car ta suite Fn, commence avec -1 = 1 puis 0 = 1;
de sorte que F1 = 2, c'est à dire f-1 + f0 ;
ce qui donne ensuite F2 = F0 + F1 = 3 etc..etc ;

d'où le niéme terme de la suite Fn, serra la somme des deux précédents termes: Fn-1 + Fn-2.

exemple : F10 = 144 = F9 + F8 = 89 + 55 .

[inviteb517eda2]

D'accord , Et pour mes démonstrations ? je n'arrive pas a démontrer

(phi)³ = 2(phi) + 1
or
(phi)² = (phi) + 1
Donc
(phi)³ = (phi) + 1 + (phi) = 2 (phi) + 1


Pour (phi)⁴ = 2(phi)² + (phi) = 2((phi) +1 )) + (phi ) = 3 (phi) + 2

[invite890931c6]

D'accord , Et pour mes démonstrations ? je n'arrive pas a démontrer

(phi)³ = 2(phi) + 1
or
(phi)² = (phi) + 1
Donc
(phi)³ = (phi) + 1 + (phi) = 2 (phi) + 1


Pour (phi)⁴ = 2(phi)² + (phi) = 2((phi) +1 )) + (phi ) = 3 (phi) + 2

attention tu fais la démonstration à l'envers....

quel relation connais tu entre et ?

[inviteb517eda2]

Je sais pas j'ai pas compris a vrai dire

[invite890931c6]

on va reprendre les bases :


(facilement démontrable)

donc ...

[inviteb517eda2]

Peux tu bien m'expliquer stp je suis vraiment perdu là

[invite890931c6]

il n'y a rien à expliquer !!

par définition

calcule , quel relation existe t-il entre et

En remarquant que établissez une relation entre et

il faut que tu te jettes à l'eau en faisant les calculs, poste si nécessaire.

[inviteb517eda2]

par définition F = 1 + V5 / 2
F = 1 . 618 033

F² = F + 1
2.618 = 2 . 618

Donc pour F³ = 2F + 1

F³ = F² + F = F + 1 + F = 2 F + 1
4 . 235 = 4.236


C'est bon ?

[invite890931c6]

par définition F = 1 + V5 / 2
F = 1 . 618 033

F² = F + 1
2.618 = 2 . 618

Donc pour F³ = 2F + 1

F³ = F² + F = F + 1 + F = 2 F + 1
4 . 235 = 4.236


C'est bon ?

oui ça c'est bon, le reste est inutile...

EDIT : enfin c'est bien F² * F est pas F² + F

[inviteb517eda2]

Oui mais regarde en bas de page de ce site :
http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm

Nous avons bien F² +F


je comprends que tu veux le multiplié , c'est ce que j'aurai fait mais sur ce site il faut une addition

[invite890931c6]

ouais



mais tu ne pas passer d'une étape à l'autre aussi vite, surtout que tu n'as pas l'air d'avoir bien compris.

[inviteb517eda2]

Ah d'accord et donc pour F⁴ ?

F⁴ = (F² ) * (F²) = (F+ 1 ) * (F+ 1 ) = F² + 1*F +1*F + 1 = 3F + 2

Fin je pense que le raisonnement n'est pas comme cela ...

[invite890931c6]

si c'est bon

[inviteb517eda2]

bien merci vegetal , maintenant pu qu'a tout mettre au propre . Merci de ton aide