Exercice proba/suites Terminales ES

[invite311ce497]

Bonjour à tous !

Voilà j'ai un petit problème avec un exercice qui me résiste
J'ai déjà bien avancé mais les je ne parviens vraiment pas à trouver un résultat pour les 2 dernières questions.

Voici le sujet :
Pour analyser le fonctionnement d'une machine d'atelier, on note, mois après mois, ses pannes et on remarque que :
- sur un mois la machine tombe au plus une fois en panne ;

-si pendant le mois <<m>> la machine n'a pas de panne, la
probabilité qu'elle en ait une le mois suivant <<m+1>> est 0,24 ;

-si la machine tombe en panne le mois <<m>> (ce qui entraîne sa révision), la probabilité qu'elle tombe en panne le mois suivant <<m+1>> est 0,04 ;

-la probabilité que la machine tombe en panne le premier mois après sa mise en service est 0,1.

On désigne par En l'événement : <<la machine tombe en panne le nième mois suivant sa mise en service>> ; on note Pn la probabilité de En (on a ainsi P1=0,1).

1)a) Donner les valeurs numériques des probabilités de <<En+1 sachant que En>> et de <<En+1 sachant que En barre>>.
Exprimer les probabilités de <<En+1 et En>> (on dit aussi En+1 inter En) et de <<En+1 et En>> en fonction de Pn.
b) utiliser a) pour montrer que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a Pn+1=0,24-0,2Pn.

2)a) Résoudre l'équation p=0,24-0,2p.
b) Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on pose
Un=Pn-p. Calculer Un+1 en fonction de Un ; en déduire la nature de la suite (Un).
c) En déduire les expressions en fonction de n, Un, puis de Pn.

Voilà donc la bête

J'ai réussi a répondre déjà aux réponses 1) et 2)a).
Par contre je pêche vraiment sur les deux dernières.

Ce que j'ai fais à propos de la question 2)b) est ce qui suit, même si je ne pense pas que ça soit juste, et donc par conséquent impossible de répondre à la c) puisqu'il s'agit du prolongement :

comme Un=Pn-p et que j'ai montré que p=0,2
Un+1=Pn+1-p
Un+1=(0,24-0,2p)-p
Un+1=0,24-0,2Pn-0,2
Un+1=0,04-0,2Pn

Donc (Un) est une suite arithmétique de raison (-0,2)

Je ne suis vraiment pas, mais vraiment pas sûr du tout de ce que j'ai fais !

Merci d'avance pour l'aide !
@ bientôt
Hervé.
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[invitea3eb043e]

Tu t'es pris les pieds dans le tapis avec les Un et les Pn.
Tu as vu que P(n+1) = 0,24 - 0,2 P(n)
tu poses que U(n) = P(n) -0,2 donc pareil :
U(n+1) = P(n+1) - 0,2
Aussi bien P(n) = U(n) + 0,2 et P(n+1) = U(n+1) +0,2
Alors que devient l'équation P(n+1) = 0,24 - 0,2 P(n) quand tu remplaces les P par les U ?

[invite311ce497]

Alors donc si j'ai bien compris, cela est censé me donner ceci :

U(n+1)=0,24-0,2U(n)
U(n+1)=0,24-0,2(P(n)-p)
U(n+1)=0,24-0,2P(n)+0,04
U(n+1)=0,28-0,2P(n)

Est-ce que c'est juste ? Si oui, la raison de la suite serait laquelle parce que je n'arrive pas trop bien à la visualiser ?
En ce qui concerne la question c) , je ne vois pas trop ce qu'ils veulent dire par exprimer en fonction de n, de U(n) puis P(n) ?

Merci d'avance !
Hervé.

[invitea3eb043e]

Alors donc si j'ai bien compris, cela est censé me donner ceci :

U(n+1)=0,24-0,2U(n)

Cette relation est fausse, elle s'applique aux P, pas aux U !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite311ce497]

Avec la meilleure des volontés, je sèche vraiment là.
Il y a certainement quelque chose qui m'échappe.
Je ne comprends pas en fait ce que sont censés représentés les U, les P ce sont les probabilités , mais les U... ?

Merci d'avance !
Hervé.

[invitea3eb043e]

Les P(n) ce sont des probabilités et il existe une relation de récurrence entre P(n+1) et P(n).
Cette relation ne permet pas de calculer P(n) en fonction de n alors on introduit une suite annexe d'un intérêt mathématique.
Tu as vu que P(n+1) = 0,24 - 0,2 P(n)
tu poses que U(n) = P(n) -0,2 donc pareil :
U(n+1) = P(n+1) - 0,2
Aussi bien P(n) = U(n) + 0,2 et P(n+1) = U(n+1) +0,2
Donc dans P(n+1) = 0,24 - 0,2 P(n) on remplace P(n+1) par U(n+1) + 0,2 et P(n) par U(n) + 0,2 et il vient que :
U(n+1) + 0,2 = 0,24 -0,2.[U(n)+0,2] et ça se simplifie (normal : c'est étudié pour)
U(n+1) = - 0,2 U(n) donc U(n) est une suite GEOMETRIQUE, il suffit de connaître U(1) pour connaître U(n) donc P(n) = U(n) + 0,2

[invite311ce497]

Ah d'accord ! En fait c'était logique, je ne voyais pas cela comme çà mais maintenant j'ai compris le cheminement. En fait la suite n'est qu'un outil pour parvenir à calculer les probabilités si j'ai bien compris ?

Et donc si j'ai bien suivi le raisonnement :

U(n)=U(1) * (-0,2)^n-1

Est-ce juste ? Et une fois la, avons-nous répondu à toutes les questions ? Ou bien y a-t-il encore des étapes pour exprimer en fonction de n, U(n) et P(n) ?

Merci beaucoup pour le sauvetage !
Hervé.

[invitea3eb043e]

C'est juste mais il faut compléter par la valeur de U(1) = P(1) - 0,2 et écrire P(n) = U(n) + 0,2