Produit scalaire

invitef42fcfa2 · 10/12/2008, 18h41

Bonjour ! je suis en galère sur cet exo de math ... si quelqu'un à une idée .... voilà l'énoncé :

Soit un triangle ABC rectangle en A. On désigne par A' le milieu de [BC] et par H le projeté hortogonal de A sur [BC] ("pieds de la hauteur" issue de A).
Le point H se projette orthogonalmement en I sur (AB) et en J sur (AC).
Montrer que les droites (AA') et (IJ) sont orthogonales.

Merci d'avance

invite890931c6 · 10/12/2008, 19h01

Comme I appartient à (AB) et que J est le projeté de I sur (BC) et comme le triangle est rectangle en A alors J devrait se retrouver en A ?? es tu sûr de ton énoncé ?

invitef42fcfa2 · 10/12/2008, 19h16

oui l'énoncé est juste ...
mais il faut que je trouve AA' scal IJ = 0 pour montrer que IJ et AA' sont orthogonaux ... mais je vois pas comment ...

invite890931c6 · 10/12/2008, 19h24

la méthode la plus simple est la repère.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite57a1e779 · 10/12/2008, 19h28

Envoyé par VegeTal

Comme I appartient à (AB) et que J est le projeté de I sur (BC) et comme le triangle est rectangle en A alors J devrait se retrouver en A ?? es tu sûr de ton énoncé ?

VegeTal, J est le projeté de H sur (AC).

invitef42fcfa2 · 10/12/2008, 19h38

j'ai une figure jointe à l'énoncée, pas de repere ni données autre que le points et les angles droits.
je sais pas comment m'en sortir...

invite57a1e779 · 10/12/2008, 19h43

Peux-tu comparer les angles $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ?

invitef42fcfa2 · 10/12/2008, 19h46

angle BAH=45° puisque (AH) est la hauteur issue de A= =90°
mais pour A'AC je vois pas ...

invite57a1e779 · 10/12/2008, 20h10

Envoyé par bubbly

angle BAH=45° puisque (AH) est la hauteur issue de A= =90°

Tu es en train de confondre hauteur et bissectrice...

Quelle est la nature du triangle AA'C ?

invite890931c6 · 10/12/2008, 20h13

Envoyé par God's Breath

VegeTal, J est le projeté de H sur (AC).

oui j'avais mal compris l'énoncé je pensais "I le projeté de H sur AB et J le projeté de I sur AB" c'est pour ça.

invitef42fcfa2 · 10/12/2008, 20h39

le triangle semble quelconque

?!

invite44d70ebf · 10/12/2008, 22h15

Envoyé par bubbly

le triangle semble quelconque

?!

Salut
Ton triangle est icocèle en A' car A' est le milieu de[BC].

invitef42fcfa2 · 13/12/2008, 21h16

j'ai essayé plusieurs choses, je tourne en rond meme en me servant de tt ca ... j'ai regardé dans mon cours je trouve plein de choses à faire mais aucune ne me mène au résultat attendu.
mon prof particulier n'arrive pas non plus, je sais plus quoi faire ... =s
s'il vous plait si quelqu'un a une idée, n'importe laquelle, elle est bienvenue ...!

invitea84d96f1 · 14/12/2008, 18h17

Note : en gras = vecteurs
Fais un dessin pour mieux comprendre ce qui suit.
D'une part,
AA' = AC + CA' (relation de Chasles)
AA' = AB + BA' aussi;
de la somme des deux, on déduit AA' = (AB +AC) /2 car BA'+CA' = 0 (milieu !)
D'autre part,
IJ = IA+AJ

Produit Scalaire de AA' par IJ
IJ.AA' = (IA+AJ).(AB+AC)/2 ou
IJ.AA' = (IA.AB + AJ.AC)/2 (*) (deux autres produits sont nuls (perpendicularité))
Dans le triangle HAB rectangle en H, IA.AB=AH² (pas vecteurs !)
Dans le triangle HAC rectangle en H, AJ.AC=AH² (pas vecteurs !)
Le ralation (*) est donc nulle (2 termes à signes contraires) -> 2 veteurs perpendiculaires

invitef42fcfa2 · 14/12/2008, 18h21

mille merci ! c'est super gentil pour votre aide =)

invitea84d96f1 · 14/12/2008, 18h31

(... suite)

invite57a1e779 · 14/12/2008, 18h49

Soit $\text{[math]}$ le point d'interserction des droites $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Le quadrilatère $\text{[math]}$ est un rectangle (tous ses angles sont droits) donc, par symétrie de ce rectangle : $\text{[math]}$ .

Le triangle $\text{[math]}$ est rectangle, donc $\text{[math]}$ appartient au cercle de diamètre $\text{[math]}$ , de centre $\text{[math]}$ . On a don $\text{[math]}$ et le triangle $\text{[math]}$ est isocèle et ses angles à la base sont égaux : $\text{[math]}$ .

Le triangle $\text{[math]}$ est rectangle en $\text{[math]}$ , donc la somme $\text{[math]}$ est un angle droit.

Dans le triangle $\text{[math]}$ , la somme $\text{[math]}$ est donc un angle droit, et le triangle est rectangle en $\text{[math]}$ : les droites $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ sont perpendiculaires.

Produit scalaire