Produit scalaire

[invite250a49ad]

bonjour,
j'ai besoin d'aide pour terminer un exercice:
C est un cercle de centre O et de rayon r. On place sur C quatre points A,A',B,B' tels que les droites (AA') et (BB') soient orthogonales, et on appelle I leur point d'intersection.
On appelle A'' le point diamétralement opposé à A.

J'ai montré que IA.IA'(vecteurs)=IO²-r² mais après je bloque.
En déduire la valeur de IA.IA' et de IB.IB'.
Calculer(IA+IB).A'B' et en déduire que la médiane issue de I du triangle IAB est aussi une hauteur du triangle IA'B'.
Merci.
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[invite3240c37d]

Tu as montré . Comme sont colinéaires
il résulte . Idem pour
On a . Tu tiens compte de et de etc ..

[invite250a49ad]

euhh en fait c'est IA.IA''(vecteurs)=IO²-r² .. désolé

[invite250a49ad]

et IA.IA' ainsi que IB.IB' sont des vecteurs..

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite250a49ad]

moi je trouve que comme IA.IA''(vecteurs)=IA.IA'(vecte urs) donc on peut dire que IA.IA'(vecteurs)=IO²-r². Puis après pour trouver la valeur de IB.IB'(vecteurs) , comment on sait que IA.IA'(vecteurs)=IB.IB'(vecteu rs) ?

[invite250a49ad]

est-ce que mon début est bon et comment fait-on pour conclure l'exercice ?
Merci.

[invite250a49ad]

quelqu'un svp!

[invitea84d96f1]

Salut,
La démonstration IA.IA' = IO²-r² montre ce genre de produit scalaire ne dépend que de la distance de I par rapport au centre O et du rayon du cercle. On l'appelle la puissance du point I par rapport au cercle C. En remplaçant dans la démonstration A par B et A' par B' on obtient naturellement IB.IB'. Même pour toute 3^e corde CIC' passant par I on doit avoir le même résultat càd IC.IC' = IO²-r² . La perpendicularité entre AA' et BB' ne joue pas dans ce calcul.

[invitea84d96f1]

suite…
M étant le milieu de AB, démontre que 2IM = IA+IB
Chasles donne A'B' = IB'-IA'
etc.

[invite250a49ad]

merci beaucoup.
Donc pour le dernier calcul , je trouve 2IO²-2r² mais après je ne vois pas comment répondre à la toute dernière question..

[invitea84d96f1]

merci beaucoup.
Donc pour le dernier calcul , je trouve 2IO²-2r² mais après je ne vois pas comment répondre à la toute dernière question..

Euh ? problème de signe ?

[invite250a49ad]

ah non je crois que le résultat est 0

[invitea84d96f1]

Pour que la médiane IM du triangle IAB soit aussi la hauteur du triangle IA'B', il faut que IM soit perpendiculaire à A'B'. Donc est-ce que IM.A'B' est nul ?
Vu que :
IM = ½ (IA+IB)
A'B' = IB'-IA'
on déduit
IM.A'B' = ½ (IA+IB).(IB'-IA')
(IA+IB).(IB'-IA')
= IA.IB' –IA.IA' +IB.IB' –IB.IA' = 0 (vecteurs perpendiculaires et 2 puissances du point I à signes contraires)

[invite250a49ad]

merci beaucoup de votre aide et veuillez m'excuser du dérangement