L'exO :
Soit la fonction f(x)=1/2 xexp(-x/2) définie sur R .
1-Déterminer lim(+l'infini) f(x) et lim(-l'infin)f(x).
2-Etudier les variations de f(x).
3-Soit F(x)=(ax+b)exp(-x/2) une primitive de f(x) sur R. En déduire la primitive de f(x) sur R qui s'annule en 0 .
Solution :
1-Les limites:
lim(+)f(x)=lim(+)[1/2xexp(-x/2)]=lim[-(-x/2)exp(-x/2)]=0
lim(-)f(x)=lim[1/2exp(-x/2)]=-l'infini
2-Les variations de f(x) :
Trouver f '(x) :
f '(x)=1/2exp(-x/2)-1/4exp(-x/2)=(1/2-1/4x)exp(-x/2)
Le signe de f '(x):
le signe de f '(x) et le signe de 1/2-1/4x
donc x est inférieur ou égale à 2
f(x) est croissante de - l'infini jusqu'à 2
f(x) est décroissante de 2 jusqu'à + l'infini
et f(2)=exp(-1)
3-Déduire F(x):
on a F(x)=(ax+b)exp(-x/2)
F est la primitive de f donc F '(x)=f(x)
F '(x)=a exp(-x/2)-1/2(ax+b)exp(-x/2)
=(a -1/2 ax-1/2b)exp(-x/2)
et on a F(0)=0 donc b=0
alors F '(x)=f(x)=(a-1/2ax)exp(-x/2)
et f(x)=(1/2x)exp(-x/2)
donc : a-1/2ax=1/2x
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