Exercice arithmétique Spécialité

[invite66cae763]

Bonjour, alors voila je bloque sur un exercice de spé, j'ai réussi a faire les 3 premières question mais je ne voit pas comment faire pour la 4.

Comme tout les nombres premiers sont de la forme 4k+1 ou 4k+3 d'après 1) et que ceux de la forme 4k+3 ne divise pas N d'après 3) alors tout les diviseur premiers de N doivent être de la forme 4k+1 mais je ne sais pas comment le prouver.
Merci d'avance

Le but de l'exercice est de prouver qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4k+3.
1.Donner 5 nombres premiers de la forme 4k+3.
2.Montrer qu'un nombre premier autre que 2 est de la forme 4k+1 ou de la forme 4k+3(k appartient à N).
3.Supposons qu'il existe un nombre fini p1,p2,...pn de nombres premiers de la forme 4k+3.
On pose alors N=4*p1*p2*…*pn-1.Justifier que N est impair et que N>2.
Montrer qu'aucun des nombres p1 ne divise N. De même pour p2,...,pn.
4.De quelle forme sont alors tous les diviseurs premiers de N? Montrer alors que N est de la forme 4k+1. Conclure.
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[invité576543]

Bonsoir,

On pose alors N=4*p1*p2*…*pn-1
(...)
Montrer alors que N est de la forme 4k+1.

J'imagine que soit l'énoncé indique ... +1 dans la définition de N. Non?

Cordialement,

[invité576543]

J'imagine que soit l'énoncé indique ... +1 dans la définition de N. Non?

A oublier, c'est une bêtise. J'avais mal compris l'énoncé... (Problème de la rédaction d'un énoncé avec raisonnement par l'absurde.)

Cordialement,

[God's Breath]

J'imagine que soit l'énoncé indique ... +1 dans la définition de N. Non?

Non, Michel : est le produit des nombres premiers de la forme , et on a bien avec le signe «-».
Ainsi est impair, et n'est divisible par aucun nombre premier de la forme (qui diviesnt ) : tous ses facteurs premiers de sont de la forme , ce qui impose que est également de cette forme par produit, d'où la contradiction avec la définition même de , et la conclusion sur l'existence d'une infinité de nombres premiers de la forme .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invité576543]

(...)

Le message précédent indiquais que je l'avais vu... Nul besoin était de l'expliquer, si?

Cordialement,

[God's Breath]

Le message précédent indiquais que je l'avais vu...

Je n'avais pas vu le second message... (je suis très lent pour saisir mes réponses)