Exercice Spécialité maths TS (congruences)

[Ard3nt]

Bonjour, voici l'énoncé :


Une étude de l'équation d'inconnue a :

a² + 9 = 5^n ou a appartient à N* , n appartient à N et n>(ou egal ) 2

a. En raisonnant modulo 3, montrer que l'équation proposée n'as pas de solution si n est impair.
b. On pose n = 2p. Démontrer qu'il existe un unique entier naturel non nul a tel que a²+9 soit une puissance entière de 5.


Il y avait tout une grosse partie du Dm constitué d'autre exercices, que j'ai déjà résolus. Mais cette partie me pose problème ...

Merci de votre aide !
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[indri]

4²+9=5² je sais pas si ca aide lol

[invite2220c077]

indri > C'est effectivement la seule solution possible, Maintenant, il reste à le prouver.

J'ai déjà répondu à cet exercice sur un autre topic : ici pour la question a) et ici pour la question b) (voir message #21)

Parcontre ce n'est pas p = 2 mais p = 1 (je n'ai pas pu rectifier sur l'autre topic)

[Ard3nt]

Merci de ta réponse, j'ai fini et ça m'as permis de vérifier le reste du devoir.
J'ai juste une quetion encore. A un moment, tu dis :

Deuxième solution : On a dans N les seuls produits de 2 nombres donnant 9 suivants : 9 = 3*3 = 9 * 1

a² + 9 = (5^p)² <=> (5^p - a)(5^p + a) = 9

D'où à résoudre dans N les systèmes :

5^p - a = 3
5^p + a = 3

5^p - a = 1
5^p + a = 9

5^p - a = 9
5^p + a = 1

Et tu vas vite voir que le seul couple solution est (a,p) = (4,2)

Logiquement, 5^p - a < 5^p + a , donc seul le système du mileu est a résoudre ... Non ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[Ard3nt]

En tout cas merci beaucoup de ton aide

[invite2220c077]

Avec plaisir .

Sinon puisque l'on est dans N, effectivement, le seul cas possible est celui du milieu, mais j'ai dénombré tous les cas pour ne pas trop embrouiller l'auteur du topic.

[invitebb921944]

Sinon puisque l'on est dans N

Dans N* pour a sinon il y a deux cas possibles

[invite2220c077]

Bah si a = 0, alors 9 = 5^n n'a clairement pas de solutions puisque 9 n'est pas une puissance de 5

[invitebb921944]

Evidemment mais tu triches tu en étais à la résolution de tes trois systèmes

[inviteddd47954]

Bonjour
J'ai exactement le même exercice à faire et j'ai beaucoup de mal mais quand je clic sur le lien que tu donne -Zweig- je ne retombe pas sur ce dont tu parle. Je tombe sur la page d'accueil :/ peux tu me redonner le lien ou m'indiquer le nom dans lequel se trouve ta réponse ?

Merci d'avance