Bonsoir,
Je suis devant un exo en arithmétique depuis une heure, je trouve pas de réponse et pas de piste non plus
Voici l'énoncé :
a et b désignent deux entiers naturels non nuls. Un rectangle de côtés a et b est divisé en a x b carrées unités. D est l'une des diagonales du rectangle.
Déterminer le nombre de carrés unités à l'intérieur desquels D pénètre.
J'ai tracé trois figure j'ai déduis que c'est égale à a+b-1 mais est ce toujours vrai et comment le démontrer ??
non ce n'est pas toujours vrai.
Dessine un rectangle de 4 sur 2, la diagonale passe par 4 carreaux.
En faite, sur le dessin, on voit que la diagonale passe pile sur un coin de carreau (situé à 2 de long, 1 de large).
Cependant lorsque que ce phenomene ne se produit pas, le resultat est en effet a+b-1.
Il faut encore travaillé le probleme:
Quand est-ce que ce phenomene se produit?
N'y a-t-il pas alors un moyen de se ramener à un cas ou cela n'arrive pas?
Siet
Il faut voir comment la diagonale passe d'un carré au suivant :
– en traversant un côté du carré parallèle au grand côté du rectangle ;
– en traversant un côté du carré parallèle au peiti côté du rectangle ;
– en passant par un sommet du carré.
Il faut dénombrer chacun des cas et faire la somme des résultats obtenus.
Est ce que je dois répondre a cet exo , en passant par l'expérience, c'est a dire en tracant plusieurs rectangle et essayer de trouver la réponse, ou bien , y a t il une démarche arithmétique à faire ?
Et est ce que vos connaissez la réponse et ainsi vos questions sont la pour me guider, ou bien, c'est juste pour s'entre aider ?
Je ne connais pas la réponse, mais j'imagine comment il faut faire : la première chose est de savoir combien de fois la diagonale passe d'un carré au suivant en passant par un sommet commun.Envoyé par mx6
Les autres dénombrements que j'ai proposés seront ensuite immédiats, et il n'y aura plus qu'à écrire le résultat.
Re,
En faisant d'autres shema, j'ai conclut que si b = ka, ou k € N biensur,
on a la diagonale qui passe par b carrés !
et si b n'est pas un multiple de a, on a alors a+b-1 !
Pouvez vous vérifier mes déductions, et dernière chose, comment le prouver arithmétiquement ?
Tu as essayé avec un rectangle de côtés 6 et 4 ?
Humm ca se complique je trouve pour
a = 4 et b = 6 , pour a = 6 et b=8 que ca fait a + b - 2 !
Pour a=9 et b=6 ?
Je trouve 12
Ca devient de plus en plus tordue ce truc ^^
Donc tu proposes quoi d'autres ??
De coomprendre ce qui se passe quand la diagonale passe par le sommet d'un carré en utilisant le théorème de Thalès.
Si a et b sont premiers entre eux, ca ne passe par aucun sommet, et ca fait a + b - 1
Si a et b sont pair, et b > a , ca passe par le sommet du carré confondue par le centre du rectangle, soit un demie de b!
Si a pair, et b impaire, ca passe par le sommet du carrée de 1/3 et 2/3 de b !
Est ce juste, ? et sinon y aurais pas un moyen arithmétique de résoudre ce problème, car c'est tellement chiant de redessiner la figure a chaque fois, compter et tout !
Le but de nos indications est de t'amener à la formule arithmetique qui fournit le résultatSi a et b sont premiers entre eux, ca ne passe par aucun sommet, et ca fait a + b - 1 oui
Si a et b sont pair, et b > a , ca passe par le sommet du carré confondue par le centre du rectangle, soit un demie de b! oui mais pas seulement. dans le cas (8,4), la diagonale passera par 3 sommets
Si a pair, et b impaire, ca passe par le sommet du carrée de 1/3 et 2/3 de b ! non pas dans le cas (7,3)
Est ce juste, ? et sinon y aurais pas un moyen arithmétique de résoudre ce problème, car c'est tellement chiant de redessiner la figure a chaque fois, compter et tout !
Voici une jolie figure pour que tu puisses comprendre ce qui se passe : pourquoi la diagonale passe-t-elle par certains sommets des carrés ? combien de fois ?
Encore une fois, le théorème de Thalès a son importance, l'arithmétique aussi.
J'ai trouvé ca :
Si a ^ b = 1 alors, S = a+b-1
Si a = kb alors S = a
Si a et b ne sont pas premiers entre eux, et sont pas proportionnelle alors et a = 3a' et b = 3b' on a S = a+b-3
Si a = 2a' et b=2b on a S = a+b-2
On progresse. Tu devrais essayer de faire intervenir le pgcd de a et b pour obtenir une formule générale.
Bon on n'y va :
a^b = 1 alors S = a + b - 1
a^b = b si a> b alors S = b
a^b = 2k alors S = a+b-2
a^b = 3k alors S= a+b-3
Euh je pense que j'ai envisagé tout les cas possible la !
sauf que la diagonale du rectangle (6,12) passe par 12 carrés, celle de (8,4) par 8 carrés
Oui j'ai fais une petite erreur lors du recopiage
si a^b = kb alors S = a
j'ai représenté ici la situation (8,4).
Alors on voit que les rectangles hachurés sont identiques et que leurs diagonales ne passent pas par un sommet puisqu'ils sont construits comme cela.
En faite on voit que si la diagonale coupe trois sommets on a 4 fois ce rectangle identique, si elle coupe 5 fois on aurait 4 rectangles identiques
si elle coupent 1 fois , on a deux rectangle identique.
Soit (a',b') les dimensions de l'un de ces rectangles.
Alors la diagonale de chacun d'eux passent par a'+b'-1 carrés puisque leur diagonale ne passent pas par un sommet.
Donc la diagonale du grand rectangle initiale passe par :
nombre de carré * (a'+b'-1).
Maintenant il faut donc déterminer le nombre de ces rectangles en fonction de a et b et la dimension de l'un d'eux.
J'ai mis en evidence en vert et orange ce qu'evoquait God's breath en parlant de thales.
Comment expliquer correctement.... j'ai du mal.
God's breath y arrivera mieux que moi je pense..
On pourra peut etre remarque que le grand rectangle est obtenu par une homothetie de rapport entier par rapport au petit rectangle hachuré en bas a gauche... mais est-ce le plus simple... je sais pas
Je ne comprend pas l'histoire des sommets depuis le debut, et dans mon raisonnement je ne les ai pas utilisés, je vois pas d'importance !
Pour le cas (8;4) on a 8 = 2 x 4 donc ca passe par 8, ma conclusion dans le post ci dessus est juste !
Voila le problème.
Si la diagonale passe pile par le sommet alors elle passe par 2 carrés,
si elle ne passe pas par un sommet elle passe par 3 carrés
Bref mais je vais essayer de t'aiguiller.
Ceci est exacte. On va essayer de se ramener dans ce cas là.
Dans le dessin que j'ai mis dans un post précedent, j'ai ramené le grand rectangle à un petit qui verifie justement que a' et b' sont premier entre eux.
Ce que j'ai fait est en faite une reduction bien choisi.
J'ai trouvé après réduction ce petit rectangle (a',b') avec a' ^b'=1
Donc la diagonale passe par (a'+b'-1) carrée dans ce petit rectangle.
En reagrandissant (en multipliant par le rapport inverse de celui de la reduction)
On obtient le nombre de carré dans lequel passe la diagonale du grand carré.
Qui dit reduction d'un rectangle afin d'avoir des cotés premiers entre eux, dit recherche d'un diviseur commun aux 2 cotés de telle sorte qu'apres division les deux nombres soient premiers entre eux.
Donc au final il faut pour se ramener au cas du rectangle sympatique en divisant par ......... (god's breath en a parlé dans un post)
Humm je te comprend un peu mais pas encore clair clair pour le cas de nombre premier, mais attendons God's breath de se réveiller le matin, pour m'expliquer son raisonnement de Thalès!
Thalès ce n'est rien que des agrandissements et reduction de triangles....Humm je te comprend un peu mais pas encore clair clair pour le cas de nombre premier, mais attendons God's breath de se réveiller le matin, pour m'expliquer son raisonnement de Thalès!
J'ai vraiment du mal à expliquer clairement ce problème...
C'est un exercice que je trouve personnellement difficile,
mon avant derniere phrase de mon post précédent te fournit quasiment la réponse à l'exercice.
Reste à bien comprendre la solution maintenant et la rediger correctement
EDIT: si la diagonale passe par un sommet alors de coordonne (m,n).
alors d'apres thales on en deduit que m divise a et n divise b.
Donc si a et b sont premiers entre eux, la diagonale passe par aucun sommet donc par a+b-1 carré.
(elle doit parcourir a carraux horizontalement, b carreaux verticalement et -1 pour pas compter le premier deux fois)
Voilà ce qui est mieux, je comprend là à quoi tu veux en venir
C'est la bonne idée : la diagonale doit parcourir
– horizontalement
– verticalement
La diagonale doit franchir
Reste à montrer que
C'est là qu'intervient Thalès pour démontrer, comme expliqué dans un message précédent :
Ou alors montrer que le nombre par lequel on divise les dimensions du rectangle pour se ramener à des trucs premiers entre eux est
PGCD(a,b).
Puisque alors le petit rectangle est de dimension
Dans ce petit rectangle la diagonale passe alors par
Donc finalement en revenant au rectangle initiale)en multipliant par PGCD(a,b)).
On obtient que la diagonale passe par
Ce raisonnement est moins directe que celui de God's breath mais revient au même je pense puisqu'il utilise aussi thales pour trouver le rapport de reduction.
Ouai tu n'as pas tort
