Programmation linéaire dans l'espace

[invite311ce497]

Bonjour à tous !

Je suis en T°ES et j'ai un DM en maths spécialité. Comme vous pouvez le constater, il porte sur la programmation linéaire dans l'espace.
J'ai passé pas mal de temps dessus mais je suis bloqué et pas moyen de trouver la solution.
Voici l'énoncé du problème :

Un pépiniériste propose à un grand magasin des sapins sous deux conditionnements :
- Les uns avec motte de terre, pesant 10kg, au prix de 10€, que le magasin vendra 18€
- Les autres sans motte de terre, pesant 5kg, au prix de 8€, que le magasin vendra 10€

Le pépiniériste n'accepte que les commandes d'au moins 300 sapins de chaque type.

Le transporteur dispose d'un camion dont la charge ne peut dépasser 10 500kg et il n'assure la livraison que si la commande est supérieure à 1000 arbres.

Le magasin dispose de 1320€ pour approvisionner son rayon sapins.

On appelle x le nombre de sapins avec motte et y le nombre de sapins sans motte que commande le magasin.
L'espace étant muni d'un repère orthogonal (O;i;j;k), on appelle M le point de coordonnées (x;y;z) où z est le bénéfice réalisé par le magasin en vendant tous les sapins commandés et m le point de coordonnées (x;y) dans (O;i;j).

1) Représenter la zone de points m possibles
2) En déduire la zone de points M possibles
3) A l'aide du graphique tracé, déterminer le nombre de sapins de chaque sorte que doit commander le magasin pour réaliser le bénéfice maximal et donner le montant du bénéfice maximal.

Voilà donc l'énoncé. J'ai réussi a en tirer plusieurs inéquations, mais certaines sont incompatibles entre-elles, surtout en ce qui concerne le budget dont dispose le magasin et le nombre minimum d'arbre qu'il doit commander.

J'ai obtenu le système :

{x+y >(ou égal) 1000
{10x + 5y <(ou égal) 10500
{10x +8y <(ou égal) 1320
{x >(ou égal) 300
{y >(ou égal) 300

Mais la première et la 3e inéquations ne sont pas compatibles. Donc soit je n'ai pas bien traduit l'énoncé, soit il y a une erreur dans le problème. Je penche plutôt pour la première hypothèse, mais dans ce cas je suis complètement perdu.

J'ai aussi trouver , je pense, l'équation du plan qui donnerait le bénéfice mais je ne sais pas non plus si c'est exact, et si cela sert vraiment à quelque chose. En tout cas voilà ce que j'ai trouvé :

8x + 2y - z + d = 0

d pourra être déterminé une fois qu'on aura trouvé les coordonnées possibles d'un point m.

Voilà où j'ai pu aboutir , mais je n'avançe plus. Si quelqu'un pouvait m'aider je lui en serait reconnaissant !

Merci d'avance !
@+++
Hervé
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[invite311ce497]

Personne n'a idée pour me venir en aide ?

@+++
Hervé

[Arkangelsk]

Bonsoir,

Petite remarque liminaire .

Mais la première et la 3e inéquations ne sont pas compatibles. Donc soit je n'ai pas bien traduit l'énoncé, soit il y a une erreur dans le problème. Je penche plutôt pour la première hypothèse , mais dans ce cas je suis complètement perdu.

Je n'entre pas dans ton dilemme !

Dans ce genre de problème de recherche opérationnelle, il peut arriver (et c'est même souvent le cas) que l'on ait plus de contraintes que nécessaire. Par exemple, on peut considérer un système de cinq équations à trois inconnues : un tel système n'a pas de solutions triviales, cependant, il existe des méthodes mathématiques pour le résoudre, telle la méthode des moindres carrés. Si tu veux, tu peux regarder ici.

Pour ton exercice, à mon avis, c'est ta troisième condition qui pose problème et qui est superflue.

L'énoncé dit :

Le magasin dispose de 1320€ pour approvisionner son rayon sapins.

Or le magasin a certainement des sapins en stock et en vitrine, qu'il peut vendre, et donc renflouer ses caisses.

[invite311ce497]

Je fais un peu un monologue lol , mais j'ai encore travaillé sur ce problème et rien à faire, je trouve que l'énoncé n'est pas logique.
Ce qui me gêne c'est le fait que le magasin dispose seulement de 1320€ pour acheter son stock de sapins.
En effet, puisqu'il faut au moins acheter 300 arbres de chaque type, et que le premier type d'arbre coûte 10€ à l'achat , et le seconde type 8€ à l'achat on obtient :

10x + 8y < 1320

Or, si l'on remplace x et y par 300, on obtient :

10*300 + 8*300 = 5400 et 5400 > 1320

Donc je ne vois pas la logique. Ou alors je me plante totalement et je suis passé à côté de quelque chose, mais là...

Merci d'avance !
Hervé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite311ce497]

Oups désolé j'ai parlé trop vite !

Pour ce que tu dis, j'y ai pensé aussi, mais dans ce cas, si le magasin dispose d'autres sapins à vendre, ils auraient du marquer une autre somme dont dispose le magasin pour acheter de nouveaux arbres.
Et puis, si le magasin ne commande pas assez de sapins, ni le pépiniériste, ni le transporteur ne sera d'accord pour honorer la commande et la livraison.

Je crois qu'à force d'avoir regarder ce problème je m'embrouille complètement^^. Je vais déjà regarder la méthode que tu m'as préconisé.

Merci !

[invite311ce497]

Bonjour !

Depuis hier soir je pense avoir trouvé la solution à mon problème.
Le problème coule de source, à condition d'enlever l'équation
10x + 8y < 1320.

Si effectivement cette inéquation est superflue et que cette donnée de l'énoncé n'a pas besoin d'être traduite sous forme d'inéquation, alors dans ce cas je parviens à une solution.

J'obtiens comme réponse à la question 3), un bénéfice maximal pour 900x et 300y, avec un bénéfice résultant de 7800€.
Est-ce exact ?

J'aimerais avoir une confirmation en ce qui concerne le problème de l'inéquation superflue.

Merci d'avance !
@+++
Hervé