Drole d'exercice sur les suites

[invite3c19aac3]

bonjours a tous
j'ai un exercice en math sur les suites assez compliqué on va dire et je me trouve pas mal bloqué alors si vous pourriez me donner quelque piste pour m'aider a me debloquer je vous en serait tres reconnaissant merci
voici l'enoncé
La suite un est definie pour tout nsup ou egale 1 par u1=2 et la relation, valable pour tout n1 :
ln ( un+1) = 1/2 [ln (un) + ln (n/(n+1)²)]

1. Verifier que cette suite est effectivement bien définie et que tous ces termes sont inférieurs ou égaux à 2

2. On pose , pour n superieur ou egal a 1, v(n) = nu(n), puis w(n) = ln(v(n))
determiner la relation entre v(n) et v(n+1) et en deduire que la suite w(n) est une suite geometrique dont on precisera la raison

3. montrer que la suite w(n) converge et en deduire que la suite u(n) converge vers une limite que l'on precisera

4. calculer la somme Sn= w1+w2+...wn
en deduire une expression du produit Pn= v1v2...vn
puis une expression du produit Qn= u1u2...un
etudier les limites eventuelles des suites Sn Pn Qn

La premiere question j'y suis arrivé mais par contre la deuxieme on va dire que je nage dans le brouillard^^
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[inviteec9de84d]

Salut,


donc


Ensuite

et après tu remplaces et tu essaies d'exprimer v(n+1) en fonction de v(n).

[invite3c19aac3]

pour la 1
initialisation pour n = 1
u(1) = 2 inferieur ou egal a 2 donc la prop est vraie pour n=1
soit p 1 on suppose 2 u(p) montrons que 2u(p+1)

u(p+1) = (racine u(p) * racine p )/ (p+1) = racine (u(p) *p/ (p+1)²)
or p/(p+1)² strictement inferieur a 1 (car p strictement inf a (p+1)²)
donc u(p)*p/(p+1)² strictement inf a u(p)
on passe a la racine
ca donne u(p+1) inferieur a racine (u(p)) ce que dapres l'hypothese de recurrence est inferieur a 2
donc la proposition est vrai au rang p+1

[invite3c19aac3]

j'ai vn+1= n+1 * racine de (un * n/(n+1)²)
et apres je peux faire quoi?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3c19aac3]

je peux faire aussi
vn+1= n+1 * rac de (un) * rac de (n) / n+1

[invite3c19aac3]

j'obtiens alors vn+1 = rac de (vn)
et ainsi j'ai vn+1=vn *1/2
es ce cela?

[inviteec9de84d]

Ok c'est bon.


Ensuite c'est facile du coup pour wn.

[invite3c19aac3]

jai trouvé jai une suite Wn qui est geometrique et qui est de raison 1/2
car j'ai W(n+1)= 1/2 Wn

[inviteec9de84d]

ok c'est bon

[invite3c19aac3]

merci alors je continue pour la 3
et jai alors ma raison qui est comprise entrre 0 et 1
et ainsi wn converge vers 0
mais par contre apres mystere!!!

Es ce que Wn= 1/2 ^n-1? je ne suis pas sure de moi

[invite3c19aac3]

oups je pense plutot que ca serait Wn=1/2^n-1 * ln (2)
desolé javais mal compris l'expression de mon cours

[inviteec9de84d]

Ok.

Or donc
(car log(1)=0....).
Du coup, pour que vn tende vers 1, il faut que u(n) se comporte en 1/n à l'infini :
.

[inviteec9de84d]

oups je pense plutot que ca serait Wn=1/2^n-1 * ln vn

Non la première était la bonne. Une suite géométrique s'exprime en puissance de la raison.

[invite3c19aac3]

Ok.

Or donc
(car log(1)=0....).
Du coup, pour que vn tende vers 1, il faut que u(n) se comporte en 1/n à l'infini :
.

je n'ai pas compris pourquoi ainsi que la limite de vn

[invite890931c6]

c'est drôle je pensais exactement à cet exercice ! vous n'avez pas prouver que la suite () est définie ce qui constitue à mon humble avis la question la plus dure.

[inviteec9de84d]

Ben pour vn c'est simple : à la limite, wn tend vers 0, donc vn tend vers 1 puisque ln(1)=0 (c'est la seule solution).

Pareil pour un :
à l'infini. Tu vois bien que un doit avoir le même comportement que 1/n pour que cela puisse être possible. Donc un et 1/n ont la même limite, soit 0.

[invite890931c6]

or d'où (ce qui va te servir pour calculer les sommes après).

donc .

de plus d'où

donc .

[inviteec9de84d]

Merci, c'est bête mais je n'ai pas été foutu de sortir la démo dans l'ordre...... Ce sera plus clair ainsi.

[invite3c19aac3]

merci pour les explications des limites j'ai compris
et une question a vegetal pourquoi tu pensais a cet exercice?
depuis 16h je suis sur cet exercice mon cerveau arrive a saturation^^

[invite890931c6]

la démonstration de l'existence de () m'intéresse ; moi j'ai fait un truc un peu branlot.

[invite3c19aac3]

jai Sn= ln2 ( 1/2^n/ 1/2)

[invite3c19aac3]

l'expression de Pn ne serait pas Pn = e^Sn
si oui comment le justifier?

[inviteec9de84d]

la démonstration de l'existence de () m'intéresse ; moi j'ai fait un truc un peu branlot.

Il faudrait essayer de montrer que les termes de la suite sont toujours strictement positifs, mais cela suffirait-il ?

[invite3c19aac3]

et Qn= Pn/n?

[inviteec9de84d]

l'expression de Pn ne serait pas Pn = e^Sn
si oui comment le justifier?

Somme des log = log des produits. Donc
et tu prends l'exp de chaque côté.

[invite890931c6]

fait un effort pour la rédaction http://forums.futura-sciences.com/an...e-demploi.html .

moi pour je trouve .

[inviteec9de84d]

et Qn= Pn/n?

Non.

[invite890931c6]

Lapin, oui il faudrait montrer que mais comment ? moi je crois qu'il faut montrer que ... pourrais tu le confirmer ?

Pour lolita :

remarque que

et donc .

[inviteec9de84d]

Lapin, oui il faudrait montrer que mais comment ? moi je crois qu'il faut montrer que ... pourrais tu le confirmer ?

Je ne pense pas, car on vient de montrer que un tendait vers 0, donc n'est sûrement pas minorée par 1.
Quant à montrer que c'est positif, une récurrence peut-être ? (je vais voir si je peux en faire une proprement, mais là je dois y aller...)

[invite3c19aac3]

c'est bon j'y suis arrivée merci a vous deux