Carrés et points alignés

[invitedea0a0e9]

Bonsoir,

Voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre :

Soit X, Y e Z trois points alignés, et D un point qui n'appartient pas à la droite (XY).
On dessine trois carrés BDEF, CDHG et ADJI. Les carrés se trouvent dans le même demi-plan délimité par la droite (XY).
Montrer que les points F, G et I sont alignés.

Je pense qu'on doit montrer que les points F, G et I sont les images des points X, Y et Z par le composé d'une rotation et d'une homothétie. Mais je n'arrive pas à trouver ni le centre de la rotation ni celui de l'homothétie.
-----

[invitea3eb043e]

C'est quoi les points A B C E, etc... Ils sont n'importe où ?

[invitea84d96f1]

Bonsoir,

Voici un exercice que je n'arrive pas à résoudre :

Soit X, Y e Z trois points alignés, et D un point qui n'appartient pas à la droite (XY).
On dessine trois carrés BDEF, CDHG et ADJI. Les carrés se trouvent dans le même demi-plan délimité par la droite (XY).
Montrer que les points F, G et I sont alignés.

Je pense qu'on doit montrer que les points F, G et I sont les images des points X, Y et Z par le composé d'une rotation et d'une homothétie. Mais je n'arrive pas à trouver ni le centre de la rotation ni celui de l'homothétie.

Je suis pantois devant la logique de certains !
On dirait un politicien qui cause...

[invitea84d96f1]

Comme parfois on doit déchiffer les politiciens... j'ai une piste pour les amateurs... MDR

D est le seul sommet commun aux 3 carrés.
F,G et I sont respectivement les sommets opposés... S'ils sont alignés c'est parce que les 3 carrés sont les uns dans les autres avec des côtés confondus ou // .
reMDR.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedea0a0e9]

Désolé, j'ai eu un problème avec les points. Les notations dans l'énoncé et dans mon dessins sont différents.
Voilà :

Soit X, Y e Z trois points alignés, et O un point qui n'appartient pas à la droite (XY).
On dessine trois carrés XOAE, YOBF et ZOCG. Les carrés se trouvent dans le même demi-plan délimité par la droite (XY).
Montrer que les points E, F et G sont alignés.

Je pense qu'on doit montrer que les points E, F et G sont les images des points X, Y et Z par le composé d'une rotation et d'une homothétie. Mais je n'arrive pas à trouver ni le centre de la rotation ni celui de l'homothétie.

@tuan:Ta logique m'étonne tout autant : tu ne t'étais pas demandé à quoi sert la droite (XY)?

[invitea84d96f1]

Désolé, j'ai eu un problème avec les points. Les notations dans l'énoncé et dans mon dessins sont différents.
C'est édité.

@tuan:Ta logique m'étonne tout autant : tu ne t'étais pas demandé à quoi sert la droite (XY)?

J'ai bien dit "j'ai UNE piste"
Et puis... bof, X.. Y...Z.. par convention sont des inconnues ... ou mal connus ... c'est pareil !

[invitedea0a0e9]

Ok. Mais pour l'instant, moi, les pistes qui m'intéressent sont ceux qui m'aideront à résoudre l'exercice. mdr comme tu dis.

[invitea84d96f1]

Soit X, Y e Z trois points alignés, et O un point qui n'appartient pas à la droite (XY).
On dessine trois carrés XOAE, YOBF et ZOCG. Les carrés se trouvent dans le même demi-plan délimité par la droite (XY).
Montrer que les points E, F et G sont alignés.

La figure jointe répond rigoureusement à l'énoncé donné. Mais toujours avis aux amateurs, essayez à faire l'exercice.
Mon grand ! c'est toi qui as un problème à résoudre. Je veux simplement t'inciter à être rigoureux si tu veux réussir dans tes études. Certes, ma méthode est spécIale...
Bonne chance.

[invitedea0a0e9]

Un dessin vaut bien plus qu'un long discours :

C'est assez rigoureux cette fois-ci?

[invitea84d96f1]

J'ajoute la "position initiale" de ces carrés, c'est celui (en rouge) qui a un côté perpendiculaire à (XY) et un autre couché sur (XY).
O', le sommet opposé à O est fixe.
Je vais démontrer que le vecteur O'E a une direction FIXE, inclinée à 45 degrés par rapport à (XY).
d est le côté du carré fixe (en rouge) et c le côté du carré "mobile" avec la relation:
c.cos(thêta) = d

Vectoriellement :
O'E = O'X +XE (Chasles)

projection sur (XY) :
O'H = c.sin(thêta)-d +ccos(thêta) = c.sin(thêta)

projection sur la perpendiculaire à (XY)
HE = c.sin(thêta)

D'où O'H = HE , O'HE est un triangle rectangle isocèle.

Quelle que soit la position de X (Y,Z,…) le support de O'E est fixe

[invitedea0a0e9]

Finalement, j'ai trouvé bien mieux avec le composé d'une homothétie et d'une rotation.
Mais merci de l'effort.

[invitea3eb043e]

Finalement, j'ai trouvé bien mieux avec le composé d'une homothétie et d'une rotation.
Mais merci de l'effort.

De manière strictement équivalente on peut le faire avec des nombres complexes si tu connais.