DM Dérivée 1ere S

[invite725f64a0]

bonjour,
je fait un DM sur les dérivée, mais je n'arrive pas a faire un exercice :

Soit la fonction f definie sur J=]-1;+inf.[ par f(x) = x + 3 + 4/(x+1)²

a- Calculer les limites de f en -1(+) et en +infini

celui-la est tres simple donc je trouve :

lim (x tend vers -1(+) ) de x+3+4/(x+1)² = +infini
et
lim (x tend vers +inf ) de x+3+/(x+1)² = +infini

b- Calculer f'(x) et montrer que f(x) = (x-1)(x²+4x+7)/(x+1)³

je n'y arrive pas, quand j'essaye de trouver f'(x) en mettant tout f(x) sur le meme denominateur puis ensuite utiliser (u'v - uv')/v²

je trouve : 3x⁴+14x³+20x²+10x-7/(x+1)⁴

arrivé la je n'arrive pas a faire de rapport entre ce que je trouve et et ce que je dois trouver
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[inviteec9de84d]

Salut,
ok pour les limites aux bornes.

b- Calculer f'(x) et montrer que f'(x) = (x-1)(x²+4x+7)/(x+1)³

je n'y arrive pas, quand j'essaye de trouver f'(x) en mettant tout f(x) sur le meme denominateur puis ensuite utiliser (u'v - uv')/v²

C'est beaucoup plus simple de dériver f comme somme de termes, ainsi tu auras un terme en 1/(1+x)^3 et il ne te resteras plus qu'à mettre sur ce même dénominateur.

[invite725f64a0]

donc, si je comprend bien il faut que je fasse :

u =x
u'=1

v=3
v'=0

w= 4/(x+1)²
w'= (0*(x+1)² - 4*(x+1)²)/(x+1)⁴
=(-4x-4)/(x+1)³

(u+v+w)' =u'+v'+w'= 1+ (-4x-4)/(x+1)³

alors soit je m'y prend mal et j'ai fait une erreur de calcul soit j'ai mal compris ce que tu voulais dire :/

[inviteec9de84d]

w= 4/(x+1)²
w'= (0*(x+1)² - 4*(x+1)²)/(x+1)⁴
=(-4x-4)/(x+1)³
alors soit je m'y prend mal et j'ai fait une erreur de calcul soit j'ai mal compris ce que tu voulais dire :/

Non tu as compris, mais erreur de calcul :

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite725f64a0]

Ah, oui erreur bête :

donc je trouve : f'(x) = (x³+3x²+3x-7)/(x+1)³

cependant comment dire que f'(x) = (x-1)(x²+x+7)/(x+1)³ ?

la franchement je ne trouve pas quoi que je fasse.
aurait tu un autre precieux conseil a me donner ?

[inviteec9de84d]

Ah, oui erreur bête :

donc je trouve : f'(x) = (x³+3x²+3x-7)/(x+1)³

cependant comment dire que f'(x) = (x-1)(x²+4x+7)/(x+1)³ ?

la franchement je ne trouve pas quoi que je fasse.
aurait tu un autre precieux conseil a me donner ?

Tu as dû faire une autre erreur de calcul car ça colle pas...Un conseil : partir de la fin pour arriver là où tu es bloqué.
Alors, voyons :


Je trouve comme toi pour la dérivée. L'erreur était dans ta recopie du résultat (4x et non x !).
Maintenant, développe (x-1)(x²+4x+7)...

[invite725f64a0]

effectivement avec 4x ca colle :
je trouve donc le meme resultat que precedement en developpant (x-1)(x²+4x+7) et non pas (x-1)(x²+x+7)

c- Etudier le signe de f'(x) sur J

donc il faut que je dise que f est derivable sur son ensemble de definition:

f'(x) = (x³+3x²+3x-7)/(x+1)³
= x³(x+1)³ + 3x²(x+1)³+3x(x+1)³+7(x+1)³
=...

ou alors, la je me complique la tache et j'ai juste a dire que c'est le quotient d'un polynome et ca marche ?

[inviteec9de84d]

Ben tu te compliques la tâche....à quoi sert la question précédente d'après toi ?

[invite725f64a0]

oulala, faut vraiment que j'arrete de me compliquer la vie, tu as raison
cependant comment faire avec ce polynome du 3eme degré ?? j'ai le second degré pas le troisieme, je ne sais pas trop comment m'y prendre.
ensuite donc je peux donner le signe de f'(x) en faisant un tableau de signe .

[invite725f64a0]

ah non, j'avait deja oublier (x-1)(x²+4x+7)/(x+1)³

c'est donc extremement simple ici

[invite725f64a0]

suite a mon tableau de signe, je trouve :
-1 est une valeur interdite
de -1 a 1, f(x) est negatif
de 1 a +inf, f(x) est positif

ou de maniere plus scientifique :

f'(x) > 0 pour x appartient à ]1;+inf[
f'(x) < 0 pour x appartient à ]-1;1[

[inviteec9de84d]

Ok, car tu as bien remarqué que le polynôme de degré 2 ne s'annule jamais sur R, et est toujours >0.
Attention seulement à la racine 1 : elle annule la dérivée via le terme (x-1).

Donc dans tes intervalles, tu dois prendre 1 (crochets fermés), et f ' vaut 0 en 1.

Sinon les signes ont l'air corrects

[invite725f64a0]

il faut ensuite que je donne un tableau de variation de f sur J, ca c'est simple.
cependant, ensuite je dois montrer que la droite (d) d'équation y=x+3 est asymptote oblique a Cf, comment faire ?

[inviteec9de84d]

La droite (d) est asymptote à f à l'infini si :

[invite725f64a0]

je comprend ce que tu me dit cependant quand je calcule :

f(x) - (x+3) = ((x³+3x²+3x-7)-(x+3)(x+1)³))/(x+1)³
= (x³+3x²+3x-7)-(x⁴-3x³-3x²+7x-3x³-9x²-9x+21)

a la fin de ce calcul je ne trouve pas f(x)-(x+3)=0 me serai-je trompé ?

[inviteec9de84d]

a la fin de ce calcul je ne trouve pas f(x)-(x+3)=0 me serai-je trompé ?

La limite à l'infini doit être nulle. Et c'est f, pas sa dérivée, attention !

[invite725f64a0]

d'accord donc je trouve que f(x) - (x+3) = 4/(x+1)²

donc il y a asymptote oblique quand f(x) tend vers +infini
cependant comment dire si Cf est au-dessus ou au dessous de la droite (d) ??

[inviteec9de84d]

cependant comment dire si Cf est au-dessus ou au dessous de la droite (d) ??

Quel est le signe de f(x)-(x+3) ?

[invite725f64a0]

la limite (x tend vers +inf) de 4/(x+1)² est 0(+)

donc Cf serait au-dessus?

[inviteec9de84d]

la limite (x tend vers +inf) de 4/(x+1)² est 0(+)

donc Cf serait au-dessus?

Oui, mais la fonction pourrait très bien osciller autour de cette droite avant de tendre vers elle à l'infini : cet argument n'est pas suffisant, il faut regarder avant l'infini également.
Ici, c'est très simple :

Donc tu vois bien qu'à l'approche de l'infini f est située au-dessus de (d).

[invite725f64a0]

ah d'accord, je m'en souviendrait il faut pas que je refasse cette erreur

maintenant il faut que je trouve l'équation de la tangente au point d'abscisse 1 puis 0, la je ne vois pas ce qu'il faut faire pour trouver ca ,je suis sur que c'est tout bête mais je vois pas ce qu'il faut faire

[inviteec9de84d]

l'équation de la tangente au point d'abscisse 1 puis 0

Le coefficient directeur de la tangente en f au point d'abscisse a (et donc d'ordonnée f(a)...) est le nombre dérivé de f en a. On en déduit facilement l'équation d'une tangente en un point a :


Tu n'as plus qu'à remplacer a par les valeurs qui t'intéressent !

[invite725f64a0]

ah d'accord merci, j'ai compris maintenant

maintenant j'ai un exercice qui dit :

Soit f la fonction definie sur IR par f(x)=x². Existe-il des tangentes à la courbe de f passant par le point A(-2;3) ? si oui, determiner leur équation.

je sais trouver l'equation c'est y=f'(Xa)(X-Xa)+f(Xa)
mais pour dire s'il existe des tangente jai un trou de memoire pour la formule

[inviteec9de84d]

Existe-il des tangentes à la courbe de f passant par le point A(-2;3) ?

Il n'y a pas de "formule" !
Il s'agit de dire si f '(-2) existe, autrement dit si le nombre dérivé de f en -2 est fini (si il a une valeur finie) car tu dois savoir qu'il a été défini comme la limite du taux d'accroissement de f, qui n'a pas forcément une valeur finie...

En gros, tu calcules la limite du taux d'accroissement de f en -2 :


Si tu trouves autre chose que l'infini, alors il existe une tangente.