[TS] Démonstration d'une identité remarquable

[invite9a322bed]

Voici l'exercice qui normalement, doit être facile, mais depuis 10min je tourne en rond, je n'arrive pas à trouver mon erreur

Vérifier que.
Pouvez vous généraliser ce résultat en remplaçant par où est un entier naturel quelconque ?

La vérification est déja faite. Pour la deuxième question je me propose de vérifier que :


En premier lieu, j'étudie la somme, je remarque que c'est la somme de termes d'une suite géométrique de raison et de premier terme .

Donc ; Donc ce qui est différent de .

Je suis sûr d'avoir fait une erreur bête
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[invitec317278e]

erreur classique sur l'exposant de la formule !
l'exposant correspond au nombre de termes, ce n'est donc pas (b/a)^n, mais (b/a)^(n+1).

[Arkangelsk]

Bonjour,

Qu'as-tu remarqué en développant

.

?

C'est un télescopage !

[invite57a1e779]

Bonjour,

En premier lieu, j'étudie la somme, je remarque que c'est la somme de termes d'une suite géométrique de raison et de premier terme .:

Il me semble que la somme contient termes, donc

Donc et tout est pour le mieux dans le meilleur des mondes...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9a322bed]

Il y a n termes, donc n+1, oui je me sens bête ! Merci ^^

[invitec317278e]

Non ! il y a n+1 termes !

[invite9a322bed]

En effet ! j'avais mal calculé !

[invitec053041c]

Salut,

Suis la remarque de Thorin . (edit: et de God's Breath )
Ca me fait plaisir de voir que tu as l'oeil affuté ! Car en général, on est un peu surpris par la sommation de termes à exposants symétriques (i et n-i).
Cela étant dit, tu peux aussi le faire d'une autre manière que les suites géométriques, c'est remarquer un télescopage des termes, exceptés a^(n+1) et - b^(n+1) :



Tu vois bien le télescpoage ? Sur ta feuille, pour que ce soit plus clair, tu peux barrer les termes qui s'annulent deux à deux.

(à noter que la méthode que tu as utilisée était aussi juste !)

Cordialement,
François

[invite9a322bed]

Oui j'ai bien vu, je viens de le faire sur la feuille ça marche aussi, mais pas assez beau !

J'ai une question, peut on démontrer l'identité par récurrence ? J'ai tenté, mais un peu compliqué à un moment....

[invitec317278e]

étant donné que cette identité n'est qu'un cas particulier de la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique, démontre plutot l'égalité de la somme des termes d'une suite géométrique, c'est plus simple (l'hérédité est quasi-évidente).

[invitec053041c]

mais pas assez beau !

Jugement de valeur .

[invite9a322bed]

Oui mais c'est une propriété du cours vue et démontrée en première,

[invitec317278e]

Oui mais c'est une propriété du cours vue et démontrée en première,

et?..........

[invite9a322bed]

Peut être j'ai pas compris ton post, tu me demandes de démontrer la formule de la somme d'une suite géométrique par reccurence ?

[invitea250c65c]

Salut !
Je pense que ce que Thorin veut dire est : démontre comme tu veux (télescopage, récurrence, ...) l'identité (équivalente à l'identité sur la somme des termes d'une suite géométrique, dans le cas ou ), et ton identité s'en déduit.

 Cliquez pour afficher

Appliquer à et tout multiplier par ...

[inviteec581d0f]

C'est chercher midi à quatorze heures ...

[invite9a322bed]

C'est chercher midi à quatorze heures ...

Je pense aussi !

Gaara du désert ?

[invitec317278e]

Ce que je veux dire, c'est que démontrer par récurrence ton identité n'est pas absolument évident (c'est très faisable en s'y prenant bien, bien sûr); en revanche, démontrer par récurrence la somme des termes d'une suite géométrique est complètement trivial, donc autant démontrer la facile et en déduire la difficile.

sinon, hérédité de ton identité :



Tu remarqueras que je me suis ramené, pour pas me fatiguer, à la suite géométrique....

[invite9a322bed]

Bonsoir,
Je voudrais savoir si cette identité est applicable aux nombres complexes ?

[invite57a1e779]

Bien évidemment, les calculs ne nécessitent en aucun cas de supposer a et b réels.

[Arkangelsk]

Bonsoir,
Je voudrais savoir si cette identité est applicable aux nombres complexes ?

Elle l'est .

[invite9a322bed]

Ok merci beaucoup, car ca va m'aider pour faire un prochain exo que je posterait surement vers minuit ! Pause dvd pour le moment !:d

[inviteec581d0f]

Je pense aussi !

Gaara du désert ?

pas de n'importe quel désert

[invite9a322bed]

Gaara du désert , personnage de Naruto très connu ! :d

[inviteec581d0f]

oé c'est bien lui