Spé Maths ex: propriétés des transformations

[invite9034ab70]

Bonjour, pourriez vous m'aider pour mon ex de spé

Une application f du plan (P) dans lui-même est dite involutive si f ∘ f= Id_p, où Id_p désigne l'application identique du plan (P). (on dit aussi que f est une involution du plan)
1. Montrer que f est involutive si et seulement si, f est bijective et f^-1= f (f^-1 désigne la bijection réciproque de f)
2. Rechercher parmi les homothéties h du plan celles qui sont involutives (2méthodes)
3. Rechercher parmi les rotations r du plan celles qui sont involutives.
4. Une translation t du plan peut-elle être involutive?

merci d'avance
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[invite9034ab70]

J'ai réussi à faire la question 1:
On suppose que f est une involution
Pour tout x∈(P): (f ∘ f)(x)= x
Pour tout x∈(P): f(f(x))= x
ainsi tout point x de (P) admet un antécédant unique par f: f(x)
dc f est bijective
dc f admet une bijection réciproque f^-1
On a alors f ∘ f= Id_p ⇒ f^-1∘(f ∘ f)=f^-1∘Id_p
⇒(f^-1∘f)∘f=f^-1
⇒Id_p∘f=f^-1
donc f=f^-1

[invite57a1e779]

Pour tout x∈(P): f(f(x))= x
ainsi tout point x de (P) admet un antécédant unique par f: f(x)
dc f est bijective

Je vois bien que x admet un antécédent, f(x), mais je ne comprends pas ce qui te permet d'affirmer que cet antécédent est unique.

[invitee625533c]

Pour démontrer que l'antécédent est unique, pars de l'égalité f(A)=f(B) où A et B sont deux points de (P) et démontre que A=B (c'est facile).

Il vaut mieux noter la variable par la lettre M (point) au lieu de x (réel), mais c'est un détail.

tu as démontré que f involutive implique f bijective et f^-1=f; il faut démontrer la réciproque.

[A voir en vidéo sur Futura]