Une somme + complexe

[invitecb6f7658]

Salut à tous!

Voici un exercice qui m'est donné par mon prof de spé (facultatif je tiens à le signaler...)

Je ne vais poster qu'une infime partie de l'exo, à savoir le début

Je ne demande aucune réponse mais uniquement une méthode, une piste, quelque chose qui me mette la puce à l'oreille...

Voici la bête :
Soit un entier . Prouver que


conseil: on pourra considérer le complexe :
Je remercie par avance celles et ceux qui accorderont du temps à mon problème
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[invite57a1e779]

Bonjour,

Indication : et l'on voit apparaître devant nos yeux ébahis une magnifique suite géométrique.

[invitecb6f7658]

Ok, j'avais pas vu ça déjà. Voyons si je trouve quelquechose ...Merci

[invitecb6f7658]

Bon je vais devoir arrêter pour ce soir (j'ai du travail ), je n'ai rien trouvé de "fructueux".
Ma somme de complexes (appelons-là ) vaut :

Mais je ne visualise pas encore très bien en quelle mesure elle va me permettre de prouver l'égalité.

Je reviens demain

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Il y a une transformation classique : .

[invitecb6f7658]

C'est super astucieux, je ne connaissais pas... Je te remercie, je continue à chercher.

[invitecb6f7658]

Un "détail" me turlupine cependant, mon rapport me donne au final le est-il à sa place? (je ne pense pas mais sait-on jamais?...)

[inviteec9de84d]

tu cherches une sommes de sinus....qui est la partie imaginaire d'une exponentielle complexe.

[invitecb6f7658]

Oui en effet, je m'étais fait cette remarque suite à l'indice.
Peu-tu m'en dire plus sur le résultat de ? Merci.

[inviteec9de84d]

Tu trouves :


or


tu en déduis ?

[invitecb6f7658]

Suite à ta remarque: si je considère en effet qu'il s'agit de la partie imaginaire d'un complexe, je peux en extraire le également pour le mettre en exposant?
tel que
J'ai pas une très grande visibilité sur ce que je fais mais ca m'aide à réfléchir quand j'explique ce que je pense

edit: je fais référence à ta première remarque, je réfléchis actuellement à celle-ci

[inviteec9de84d]

par linéarité de la partie imaginaire, ok ?
tu en déduis donc ?

[inviteec9de84d]

tel que

non !! tu confonds avec la formule de Moivre ! (<=> tu peux faire ça sur des exponentielles complexes seulement).

[invitecb6f7658]

Aie aie aie!!!
Ils ont même partie imaginaire puisqu'ils sont égaux...

Je pense que si j'ai tant tardé à trouver, c'est que je me suis trop laissé guider par le conseil sans même avoir idée d'un quelconque résultat intermédiaire à trouver (je sais pas si je m'exprime clairement).

On (tu) a(s) donc montré le résultat
Merci à vous...

Je compte sûrement revenir