[Maths] TS - Suites

[aurelienbis]

Bonjour ;
Je suis en TS je révise pour le BAC et j'ai le livre sous les yeux, sauf que le probleme est que je ne comprends pas certaines choses :
énoncé , c'est sur les suites :
a et b sont 2 réels distincts et non nuls, n un entier naturel , n>ou= a 2.

a)Calculez la somme S = 1 + b/a + b²/a² + ... + b^(n-1)/a^(n-1)

b)Déduisez en une forme factorisée de a^n-b^n

a)J'utilise la formule a*((1-q^n)/(1-q)) ce qui donne 1*((1-b^n/a^n)/(1-b/a)). Sauf que dans le livre la réponse devrait etre :
(a^n-b^n)/((a^(n-1))(a-b)), et j'ai beau refaire le calcul plusieurs fois a partir de mon premier résultat je n'arrive pas a trouver comment ils obtiennent le leur.

b)Factorisation de a^n-b^n ; j'utilise la formule a^n-b^b = (a-b)*P ou P est la somme de tous les nombres a^âlpha*b^beta tels que alpha+beta= n-1 . Déja ici je ne comprends pas ce que c'est que P.
Est-ce que c'est la somme que l'on a trouvé dans le a) ?

Un autre probleme , démonstrastion par récurrence:
De ce que j'ai compris , elle tiens en 3 points :
-Prouver que c'est vrai pour n=1
-Prouver que si c'est vrai pour tout n , c'est vrai pour n+1
-Conclure

Pour le premier et le dernier, c'est pas dur , par contre pour le deuxieme:

Par exemple j'ai un exercice ou l'on doit démontrer que 1^3+2^3+... + n^3 = n²(n+1)²/4 = (1+2+...+n)²
Déja si on remplace n par 1 , on trouve 1 partout donc c'est bon;

Pour le deuxieme point , on sait que 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 , donc si l'on met au carré on prouve déja une égalité. Il faut maintenant prouver l'autre. Donc je mets 1^3 + 2^3 +...+ n^3 + (n+1)^3. Et apres j'en fais quoi de ça ? comment je le transforme en (n+1)²(n+2)²/4

Pour le troisieme je pense que c'est un phrase du style ; la proposition est vrai pour Pn+1 donc Pn est vraie pour tout n>ou égal a 1

Merci pour vos réponses
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[Arkangelsk]

Bonjour,

a)J'utilise la formule a*((1-q^n)/(1-q)) ce qui donne 1*((1-b^n/a^n)/(1-b/a)). Sauf que dans le livre la réponse devrait etre :
(a^n-b^n)/((a^(n-1))(a-b)), et j'ai beau refaire le calcul plusieurs fois a partir de mon premier résultat je n'arrive pas a trouver comment ils obtiennent le leur.

Si tu réduis tes numérateur et dominateur au même dénominateur respectivement, tu obtiens la même chose.

[Flyingsquirrel]

Salut,

b)Factorisation de a^n-b^n ; j'utilise la formule a^n-b^b = (a-b)*P ou P est la somme de tous les nombres a^âlpha*b^beta tels que alpha+beta= n-1 .

Utilise plutôt la réponse à la première question.

Déja ici je ne comprends pas ce que c'est que P.
Est-ce que c'est la somme que l'on a trouvé dans le a) ?

Presque... Par exemple pour ,

.

est bien la somme des termes avec . De toute façon tu n'as pas besoin d'utiliser cette formule, il faut uniquement se servir de la réponse à la question précédente.

Un autre probleme , démonstrastion par récurrence:
De ce que j'ai compris , elle tiens en 3 points :
-Prouver que c'est vrai pour n=1

Il vaut mieux retenir qu'il faut prouver que la propriété est vraie au rang initial. (ça peut être mais aussi , ...)

Par exemple j'ai un exercice ou l'on doit démontrer que 1^3+2^3+... + n^3 = n²(n+1)²/4 = (1+2+...+n)²
Déja si on remplace n par 1 , on trouve 1 partout donc c'est bon;

Pour le deuxieme point , on sait que 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2 , donc si l'on met au carré on prouve déja une égalité. Il faut maintenant prouver l'autre.

À mon avis tu ferais mieux de montrer cette égalité par récurrence plutôt que d'utiliser le résultat . (ce que tu as fait est correct mais c'est plus instructif de faire la démonstration que de dire « on sait que... »)

Donc je mets 1^3 + 2^3 +...+ n^3 + (n+1)^3. Et apres j'en fais quoi de ça ? comment je le transforme en (n+1)²(n+2)²/4

Utilise l'hypothèse de récurrence.

Pour le troisieme je pense que c'est un phrase du style ; la proposition est vrai pour Pn+1 donc Pn est vraie pour tout n>ou égal a 1

Il faut aussi que la proposition soit vraie au rang initial, l'hérédité seule ne prouve pas que est vraie pour tout .

[aurelienbis]

ok, merci je vais voir ça demain matin

[A voir en vidéo sur Futura]

[aurelienbis]

Et je ne vois pas ce que tu veux dire par "utilise l'hypothese de recurrence"

[lapin savant]

Salut,
la propriété P_n que l'on cherche à montrer par récurrence constitue l'hypothèse de récurrence :
(HR) : la propriété étant vraie au rang initial k, on suppose qu'il existe un entier n > k tel que P_n est vérifiée.

Autrement dit, tu fait l'hypothèse (de récurrence) que la propriété P_n est vraie afin de montrer que ton hypothèse implique que la propriété se vérifie également au rang suivant (hérédité).
Le principe de récurrence énonce que si P_k est vraie et que pour tout entier n > k, P_n => P_n+1, alors P_n est vraie pout tout n >= k.

[aurelienbis]

Bonjour,



Si tu réduis tes numérateur et dominateur au même dénominateur respectivement, tu obtiens la même chose.

alors j'ai :
(1-b^n/a^n)/(1-b/a)
=(1-b^n/a^n)(a/a-b)
=(a^(n+1)-ab^n)/a^n(a-b)
=si on divise par a a^n-b^n/a^(n-1)(a-b)

En fait j'etais bloqué parce que lorsque je passais de la premiere ligne a la seconde je fesais l'inverse de 1-b/a = 1-a/b alors que c'est a/a-b

[Arkangelsk]

alors j'ai :
(1-b^n/a^n)/(1-b/a)
=(1-b^n/a^n)(a/a-b)
=(a^(n+1)-ab^n)/a^n(a-b)
=si on divise par a a^n-b^n/a^(n-1)(a-b)

En fait j'etais bloqué parce que lorsque je passais de la premiere ligne a la seconde je fesais l'inverse de 1-b/a = 1-a/b alors que c'est a/a-b

C'est en fait .

[aurelienbis]

Salut,

Utilise l'hypothèse de récurrence.

Je ne vois vraiment pas comment faire ce calcul:
1^3 + 2^3 + .. + n^3 + (n+1)^3 = (n+1)²(n+2)²/4
Si je fais la formule 1*(1-(n+1)^3)/(1-n+1)
=1-(n+1)^3/n
J'en fais quoi de ça ?

[Arkangelsk]

Es-tu au clair avec la récurrence ? Peux-tu expliquer brièvement le principe et les étapes ?

[aurelienbis]

Es-tu au clair avec la récurrence ? Peux-tu expliquer brièvement le principe et les étapes ?

hé bien je sais que pour prouver une égalité (ou une inégalité ?) par récurrence
-il faut prouver que celle ci est vraie pour le premier terme de la suite.
-Il faut prouver que c'est vrai aussi pour n+1
-on conclut en disant que puisque l'egalité est vraie pour le premier terme et pour n+1 , alors elle est vraie pour tout n.

Mais ici je bloque au deuxieme point , on a déja prouvé que (n+1)²(n+2)²/4=(1+2+...+n+n+1)² mais je n'arrive pas a prouver que 1^3 + 2^3 + .. + n^3 + (n+1)^3 = (n+1)²(n+2)²/4 , c'est que je ne sais pas par ou commencer , comme dis précédemment j'applique la formule d'une somme de nombres d'une suite geometrique mais ça ne m'avance pas beaucoup.

[Flyingsquirrel]

-Il faut prouver que c'est vrai aussi pour n+1

Non, il faut prouver que si l'égalité est vraie pour un rang donné alors elle est aussi vraie au rang suivant qui est , c'est ce que l'on appelle l'hérédité : l'égalité se « transmet » d'un rang au suivant.

Si l'égalité est vraie au rang 1 on peut en déduire quelle est vraie au rang 1+1=2, grâce à l'hérédité. Comme elle est vraie au rang 2, on en déduit qu'elle est également vraie au rang suivant : 2+1=3 et ainsi de suite... on peut prouver que l'égalité est valable pour n'importe quel rang . C'est ce raisonnement qui se cache derrière la récurrence.

Une analogie qui vaut ce qu'elle vaut (!) : pour atteindre n'importe quel barreau d'une échelle (= pour prouver que l'égalité est vraie pour tout ) il suffit de savoir monter sur le premier barreau (= montrer que l'égalité est vraie au rang initial) et de savoir passer d'un barreau au barreau suivant (= montrer que l'égalité se transmet d'un rang au suivant).

Mais ici je bloque au deuxieme point , on a déja prouvé que (n+1)²(n+2)²/4=(1+2+...+n+n+1)² mais je n'arrive pas a prouver que 1^3 + 2^3 + .. + n^3 + (n+1)^3 = (n+1)²(n+2)²/4 , c'est que je ne sais pas par ou commencer

Tu dois prouver que l'égalité au rang

implique l'égalité au rang

.

Est-ce si difficile que cela ?

[aurelienbis]

mais ouiiiiii c'est si difficile que cela c'est ce que je dis depuis le début !!! Je n'arrive pas a faire ce calcul ! A la limite je trouve : 1^3+2^3+...+n^3= (1-n^3)/(1-n)=n²(n+1)²/4 <=>
(1-n^3)4=(1-n)(n+1)²*n²
Ce qui de toute évidence n'est pas ça et c'est pour ça que j'ai besoin d'aide arggggg je demande ça depuis le début ça fait 3 jours que je n'ai pas d'aide sur ce calcul , meme si au moins j'ai mieux compris le systeme par récurrence ...

[Flyingsquirrel]

mais ouiiiiii c'est si difficile que cela c'est ce que je dis depuis le début !!! Je n'arrive pas a faire ce calcul ! A la limite je trouve : 1^3+2^3+...+n^3= (1-n^3)/(1-n)=n²(n+1)²/4 <=>
(1-n^3)4=(1-n)(n+1)²*n²

C'est dur parce que tu ne veux pas utiliser l'hypothèse de récurrence !

Pour prouver l'hérédité on suppose qu'il existe un rang pour lequel l'égalité est vraie :

Ensuite on ajoute des deux côtés :

.

Maintenant met les deux termes du membre de droite au même dénominateur et montre que

[aurelienbis]

C'est dur parce que tu ne veux pas utiliser l'hypothèse de récurrence !

Pour prouver l'hérédité on suppose qu'il existe un rang pour lequel l'égalité est vraie :

Ensuite on ajoute des deux côtés :

.

Maintenant met les deux termes du membre de droite au même dénominateur et montre que

ahhh ok merci c'est cool c'est juste que je ne savais pas qu'il fallait ajouter (n+1)^3 a droite merci ^^